* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

90 ГЛ. 1. ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО (8.2 Если это свойство выполняется и для счетного множества попарно не пересекающихся множеств {E }, т. е. k оо k=l оо ft=*l то функция множеств Ф ( ? ) называется вполне аддитивной. Простейшей вполне аддитивной функцией множеств является объем (точнее, n-мерный объем; для я = 2 — площадь). Для я-мерного параллелепипеда SczR , координаты точек М?$ которого удовлетворяют неравенствам a ^ x ^ b n (k=l, ляется 2, я), где М =. (х равенством п v(S) = k=t ъ х ь х) п у объем опреде- k k k Jl[(b -a ). k k рицательная Э т а определение позволяет приписать объем любому множеству, которое может быть получено из счетного множества параллелепипедов с помощью операций сложения, пересечения и взятия дополнений. Более общим примером вполне аддитивной функции множества является мера. Мера пространственного множества для некоторой системы множеств а определяется как неот- вполне аддитивная и монотонная функция множеств, т. е. такая функция р(Е), ДЛЯ которой 1) ^ ( ? " ) ^ : 0 для любого Е^о, 2) [х (Е ) ^ ц ( ? ) при Е С Д» Е ? о), х 2 х г со 3 со ) Р ( 2 ? « ) == 2 _ /г = 1 fc = l Н - е с л и Дв» • • • — попарно не пересекающиеся множества из а. Наиболее употребительной мерой для пространственных множеств является мера Лебега, которая может быть получена с помощью следующей конструкции. Пусть Е—ограниченное точечное множество в R , лежащее внутри параллелепипеда S, ECZS и G — открытое множество в S, содержащее Е, SZ2GZ2E. Значение объема v(Q), определенного с помощью представления О в виде суммы счетного множества замкнутых параллелепипедов, определяется однозначно и не зависит от способа выбора параллелепипедов. Нижнюю грань inf v (G) для всех множеств G из «S, содержащих Е, n