* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
7.2]
§
7.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
81
Ортогональный
ряд ^
оо
a cp (х)
ft ft
сходится
в
среднем
fe=i
оо
А—1
тогда и только тогда, когда У! а <Г °о« %
Пусть { с р ( л г ) } — ортонормированная система, полная отноZA Тогда Фу/?б функции f(x) сительно Z* и / ( * )
л
по системе {ср„ (л:)} сходится
со
в среднем к функции
f{x).
Для полной системы справедливо также равенство
Парсеваля
^a%
ft=i
=
[f(x)fdx.
Т е о р е м а Ф. Р и с с а — Е. Ф и ш е р а . Если система Уп ( )} ортонормирована, а {я,} — последовательность чисел функсо сходящейся суммой квадратов, то существует
х
со
ция f(x) ? L для которой ряд ^ дом Фурье по системе {<р {х)}.
п
a y (х) является
k k
ря-
* = i
Пусть
Подобная функция определяется единственным образом с точностью до ее значений на множестве меры нуль тогда и только тогда, когда { с р (х)} — полная. Следующая теорема дает достаточное условие сходимости почти всюду ортогонального ряда в общем случае. Теорема Д. Е. M e н ь ш о в а — Г. Радемахера.
д
{ с р (х)} — ортонормированная
п
система
из L? на
оо
Л
00
[а, Ь] и 2
а 1 п я < [ о о . Тогда ортогональный ряд Ц
2 п
ед (х)
сходится почти всюду на [а, Ь].
Для некоторых ортогональных систем справедливы и более сильные утверждения. Например, имеют место следующие теоремы. Т е о р е м а А. Н. К о л м о г о р о в а — Г. А. С е л и в е р со
п— 1
/г = 1
с т о в а — А. И. П л е с с н е р а .
Если
ряд ^
(я» + К) In п
л=;1 со
сходится, Н~ b
s i n п n х
то тригонометрический сходится почти всюду.
ряд 7 "~ 2 Г4
a
n ~~
cosnx