* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

SO ГЛ. I ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [7.2 где мы по-прежнему полагаем a = k ь ^ f(x)y (x)dx. k п Разложе- ние функции f(x) по системе {ф (х)} дает *=i k= У k K Уи к k=i k откуда видно, что коэффициенты Фурье по системе которая не является нормированной, равны ^ - ^ f(x) k {у (х)}, п cp f t (x)dx. Эта формула могла быть получена и непосредственным интегрированием. 2. Коэффициенты Фурье могут быть получены при решении задачи наилучшей аппроксимации в среднем. Пусть на [а, Ь] определена функция f(x)^L и {у (х) — ортонормирован2 п п ная система функций из ZA Положим s (х) = n л У] % k9k (х) и поставим задачу подобрать при постоянном п коэффициенты ? так, чтобы интеграл ь [f{x)-s (x)fdx n был минимальным. Решением этой задачи является частичная сумма ряда Фурье, т. е. приближение в среднем будет наилучшим, когда коэффициенты равны соответствующим коэффициентам Фурье, неравенство Для любой функции f(x) ? № справедливо Бесселя k со k= где {a } означает коэффициенты Фурье функции f(x) по системе {ср (лг)}. Отсюда следует, что для функции с суммируемым квадратом ряд из квадратов коэффициентов Фурье сходится. В частности, коэффициенты Фурье стремятся к нулю. k п