* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
7.11
§
7.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
ФУНКЦИЙ
79
расширить до полной ортонор мир о ванной системы присоединением подходящих функций. Пусть { (х) — ортонормированная система функций. Ряд
п
со
2 3
п
а
п?
п
(*)>
где а — любые постоянные, называют ортогональным рядом. Если этот ряд равномерно сходится на отрезке [а, Ь] к функции f(x), то коэффициенты а ряда легко определить непосредственно. Умножив обе части равенства со f(x)= У, a„v„(x) /1= 1
п
на Чь(х) и проинтегрировав затем по отрезку [а, Ь найдем
со
fix)
а
П (х) dx = 2] <* J Уп (х) cp (х) dx =
п ft
a.
k
п
Коэффициенты, полученные по этим формулам, называют коэффициентами Фурье функции fix) по ортонормированной системе (ср„(^)}. Если все коэффициенты ортогонального ряда являются коэффициентами Фурье функции f(x), то ряд называют разложением или рядом Фурье функции f(x) по ортогональный системе {у {х)}. Выше показано, что если ряд равномерно сходится к функции f(x) то он является рядом Фурье этой функции. Нетрудно доказать справедливость этого утверждения также и для случая сходимости в среднем. Определение ряда Фурье существенно зависит от того, в каком смысле производится интегрирование. В связи с этим рассматриваются ряды Фурье — Римана, Фурье — Стилтьеса, Фурье — Лебега и т. д. Если система {<р (х)} не нормирована, то выражение для коэффициентов Фурье несколько изменится. Именно, если
п y л
Wn (х)]*dx — ^>0,
n k
то система {<]>„ (х) = {у=г коэффициент
у (х)j уже
п
нормирована. Пусть b означает k-ft fix) по системе {ф (х)[. Тогда
л
функции
Ьы = fix)Ux)dxJ
а а
fix)
**Sf dx =
У h V
^ >