* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

76 ГЛ. I . ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [6.5 Последовательность функций, сходящаяся в среднем р-й степени (р^>0), сходится по мере к этой же функции. Поэтому у последовательности, сходящейся в среднем, также существует подпоследовательность, сходящаяся почти всюду. Однако, как и выше, сама последовательность, сходящаяся в среднем, может оказаться расходящейся в каждой точке. Точно так же из сходимости по мере не вытекает сходимость в среднем, как и сходимость в каждой точке не влечет за собой сходимости в среднем. Подтверждением последнего является последовательность {/«(•*)}> определенная на [0, 1] посредством равенств О в остальных точках [0, 1]. Очевидно, что lim f (x) n = 0 для любого х?[0, п 1], так что последовательность {/ (х)} точке. Однако я -*• со сходится к нулю в каждой 5 fn п (х) dx= ) пЫх = п —* оо, следовательно, сходимость в среднем* не имеет места. 5. Рассмотрим теперь условия, при которых возможен переход к пределу под знаком интеграла в интеграле Лебега. Как и в интеграле Римана (см. п. 2), для допустимости перехода к пределу под знаком интеграла сходимость в каждой точке не является достаточным условием даже в том случае, когда предельная функция интегрируема. В этом легко убедиться, рассмотрев предыдущий пример. Действительно, при любом x ^ J O , 1] имеем lim / (х) = 0. С другой стороны, п f (x)dx=l n f и этот интеграл не стремится к нулю. Для ограниченных функций имеет место следующая теорема.