* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

6.4] § 6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ 75 почти всюду. Более того, последовательность может сходиться по мере, не имея ни одной точки сходимости. Чтобы убедиться в существовании такой последовательности, достаточно рассмотреть следующий пример. Определим для каждого натурального k группу функций /(*) (х), / W (х),..., f (x), полагая k) k y y t ) W = ( если ^IhT & 1 [ 0 вне этого отрезка. Занумеровав подряд все построенные функции, получим последовательность {у (х), которая сходится по мере к функции, тождественно равной нулю на [0, 1]. В самом деле, пусть ср (х) (х). Достаточно рассмотреть случай 0 ^ е ^ 1. Тогда п л ?{|*.(*)1э*«}==[нГ& у ] , так что тЕ {| ср„ (х) ^ е} = ~ —> 0 0 при п —* оо. Вместе с тем эта последовательность не сходится ни в одной точке, найдутся таибо для всякого х ? [0, 1] и любого k^>2 кие i i и г , что 2 вследствие чего / ^ ) ( д г ) = 1 , /(*)(д: ) = 0. Таким образом, в каждой точке x функции последовательности {<р (х)} бесконечно много раз принимают как значение 1, так и значерасходится ние 0, поэтому последовательность {<р„(.*0} в каждой точке [О, 1]. Заключение от сходимости по мере к сходимости почти всюду все же возможно сделать, однако в следующей узкой форме: если последовательность {/„ (х)} сходится по мере к функции f(x) на множестве Е, то из нее можно выбрать подпоследовательность 0 0 Q п fn x (*)> 2 *0> /* * ... 3 (wi < Щ < п ъ <...), сходящуюся к f{x) почти всюду на Е.