* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

5.3] § 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 57 если тЕ = 0, то для любой ограниченной f(x)dx Е функции = 0; всюду на Е совпа- если функции f(x) дают {эквивалентны), Е и <р(х) почти то Е ^ f(x) dx = ^ ср (х) dx; если f(x)^0 наЕи^ f(x)dx = 0, то f(x) = 0 почти измери- всюду на Е. в) Если на измеримом множестве Е заданы мые ограниченные функции fix) и ср(лг), то ^ [/(х) ± ср (х)] dx = f(x) Е dx ± Е ср (х) dx; Е ^cf(x)dx Е = c^f(x)dx Е (с — постоянная); если f(x)^zy(x) на множестве fix) Е Е Е то } dx ^ ^ ср (х) dx. измерима и ограничена на мно- г) Если функция f(x) жестве Е то Е \f(x)dx^\f(x)dx. Е Римана: если функция f(x) интегрируема в смысле Римана по отрезку [а, Ь], то она интегрируема также и в смысле Лебега и интегралы совпадают. Это утверждение делает излишним в большинстве случаев различение обозначений для интегралов Римана и Лебега, т. е. употребление специальных знаков (f§ или (L). С другой стороны, существуют сум- Интеграл Лебега представляет собой обобщение интеграла мируемые на [а, Ь] функции, не интегрируемые в смысле Римана. В качестве примера можно указать на приведенную в § 3, п. 1 функцию Дирихле. Как было показано в п. 1, интеграл Римана для этой функции не существует. Тем не менее она является суммируемой, ибо она равна нулю почти всюду, так что интеграл Лебега от этой функции существует и равен нулю.