* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

5.1] § 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 51 § 5. Интегрирование функций 1. Пусть функция f(x) определена и ограничена на отрезке [а Ь]. Разобьем отрезок [а, Ь] на п частей точками а = лго С- 1 С^2 С--- C n-i Z n — ^ обозначим через Далее, отрезок [x _ x ], а его длину x — x _ = ^x . обозначим через М и m соответственно верхнюю и нижнюю грани функции f(x) на отрезке Д,-. Разность Ж,- — m называют колебанием функции на Д . Суммы } < г < < < x < x и t ly t t i l i { t t г п S n п M L x = 2 i i= 1 i И S * n = I] i = 1 Щ i Ax мы будем называть соответственно верхней и нижней суммами Дарбу для данного разбиения. При стремлении к нулю максимума длин участков суммы Дарбу стремятся к определенным пределам (не зависящим от способа разбиения отрезка), которые называются верхним и нижним интегралами Дарбу функции f(x) по отрезку [а, Ь] Ъ 7 = lim S = n f(x)dx f 1= lim s = n ^f(x)dx. a n-+oo Ax. -> 0 Это означает, что для всякого е ^ > 0 существует такое 8^>0, что для всех разбиений отрезка [а, Ь], для которых длина наибольшего участка не превосходит 8, выполняются — Л<С * неравенства S — Л < С по Если верхний и нижний интегралы функции fix) отрезку [а, Ь] совпадают, то функцию f(x) называют интегрируемой в смысле Римана на отрезке [а, Ь], а общее значение верхнего и нижнего интегралов — интегралом Римана этой функции. Интеграл Римана был подробно рассмотрен в выпуске: СМБ, Математический анализ (дифференцирование и интегрирование). Мы ограничимся поэтому формулировкой двух критериев интегрируемости функции по Риману. е и s е n