* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

52 ГЛ. I. ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [5.2 Т е о р е м а Р и м а н а . Ограниченная функция интегрируема в смысле Римана на отрезке [а, Ь] тогда и только тогда, когда для любых е ^ > 0 и 8^>0 отрезок [а, Ь] можно так разбить на интервалы, что сумма длин тех интервалов, колебание на которых больше е, была меньше 6 . * Т е о р е м а Л е б е г а . Для того чтобы ограниченная функция была интегрируема в смысле Римана, необходимо и достаточно, чтобы множество ее точек разрыва имело меру нуль. Из теоремы Лебега, например, следует, что приведенная в § 3, п. 1 функция & 0 для иррационального х, 1 р — для дг = — я я интегрируема по Риману на отрезке [0, 1] (и ее интеграл равен нулю), так как множество ее точек разрыва есть множество рациональных точек отрезка, а следовательно, имеет меру нуль. Наоборот, определенная там же функция Дирихле f{X): 0, если х иррационально, / м 1, если х рационально, не интегрируема в смысле Римана, ибо она разрывна всюду. Впрочем, неинтегрируемость функции Дирихле легко вытекает из определения. В самом деле, верхние суммы Дарбу для нее всегда равны единице, потому что при любом разбиении на каждом участке найдется хотя бы одна рациональная точка. По аналогичной причине нижние суммы Дарбу для функции Дирихле всегда равны нулю. Таким образом, верхняя и нижняя суммы не могут иметь общего предела. 2. Заменив в суммах Дарбу длину отрезка Ax приращер нием некоторой интегрирующей (или весовой) функции < (х) на этом отрезке, приходим к суммам Дарбу — Стилтьеса t я S»=2^I[?(*I)--