* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

4.3] § 4. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ 49 растает (убывает) на отрезке [а, Ь то все ее производные числа неотрицательны (неположительны). Производные числа Дини определяются следующим образом. Верхним (нижним) правым производным числом называют верхний (нижний) предел разностного отношения при стремлении h к нулю справа, Л = lim sup / ( * » + * ) - / ( * > + g А-+ + 0 " Х* = Вт Аналогично i n { /(*° + * > - / W Л t A-» + O опоелеляются 1 •• веохнее и нижнее АЙЙМЙ ппоия--1 * t П -л - * —О — П водные числа Л " и Х~. Именно, Л - = lim sup fSa±3fzL^L X- = lim м / ( * + * ) - / ( * « > . л —-О водных чисел Дини непрерывной функции непрерывно в некоторой точке, то в этой точке непрерывны также все остальные производные числа и все четыре производных числа в данной точке совпадают, т. е. функция дифференцируема в этой точке. Производные числа Дини на множестве полной меры удовлетворяют соотношениям, устанавливаемым следующими теоремами. Т е о р е м а Н. Н. Л у з и н а . Если все четыре произ- Ясно, что для каждой конечной функции все четыре производных числа существуют в каждой точке и их можно рассматривать как функции того же аргумента. Т е о р е м а Д и н и . Вели какое-нибудь одно из произ- водных числа Дини функции f(x) конечны в каждой точке множества положительной меры, то функция дифференцируема почти всюду на этом множестве. Т е о р е м а А. Д а н ж у а . Пусть f(x) — конечная функция, определенная на отрезке [а, Ь]. Тогда в каждой точке некоторого множества полной меры выполняется одно из следующих четырех соотношений: б) А — ~Ф со, в) Х = А~Ф со, + + + + а) Л == Л = -|- оо, + - г) Л = Л- = = Х = — оо, Л = -|-оо, + + Х = Х~ = + — -фос. оо; Л " = -f-оо; — — оо;