* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

48 ГЛ. Т ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [4-3 Иначе говоря, множество угловых точек лишь конечно или счетно. Во всякой точке х существуют верхняя производная / ( л г ) и нижняя производная f~(x ). При этом верхней производной называют верхний предел разностного отношения 0 + 0 Q Г (*„) = lim sup / ( * & + * ) - / < * • > . Аналогично нижняя производная определяется + »)-/(*> . Л равенством Г (*«)=ltaW k О Так, для функции ч f x sin — при х ф О, 0 + 0 при х = 0 0 в точке XQ = 0 имеем / (j*r ) = - f - 1 и f~(x ) — — 1 (см. рис. 6). При этом угловой коэффициент прямой, соединяюколебщей точку ( х , /(лг )) с точкой (х<>-~п, /(х --п)), лется от биссектрисы второго до биссектрисы первого координатного угла и обратно. Более далеким обобщением понятия производной являются производные числа. Число X (конечное или бесконечное) называется производным числом функции f(x) в точке x , если существует последовательность {h }, стремящаяся к нулю (h ф 0), для которой 0 0 0 Q n n Производное число будем обозначать = Df(x ). Очевидно, что заданной на отрезке а) для каждой функции f{x), [a, b] в любой точке существуют производные числа; б) для существования производной /Ч-^о) точке х ? [а, Ь] необходимо и достаточно, чтобы все производные числа функции в данной точке совпадали. В ряде случаев производные числа обладают свойствами, возприсущими производной. Например, если функция f(x) Q t 6 0