* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

4.3] § 4. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ 47 монотонная на отрезке [а, Ь], имеет почти всюду на этом отрезке конечную производную /&(.х;)(при этом вовсе не предполагается непрерывности f(x)). Отсюда и из теорем § 3 (см. пп. 3, 4) следует: а) функция с ограниченной вариацией на отрезке [а, Ь] имеет производную почти всюду на этом отрезке; б) если функция f(x) удовлетворяет условию Липшица на отрезке, то она имеет почти всюду конечную производную; в) функция, абсолютно непрерывная на отрезке [а, Ь], имеет почти всюду на нем конечную производи ную. Кроме того, г) не существует непрерывной функции, производная которой равна бесконечности на множестве положительной меры. Вместе с тем для всякого множества Е меры нуль на отрезке [а, Ь] существует непрерывная возрастающая функция о (х), производная которой в каждой точке х ? Е равна -- оо. 0 вания производной почти всюду является монотонность функfix), ции. Именно, имеет место следующая теорема: функция не 3. Пусть в точке х функция f(x), определенная на [а, Ь], имеет производной. Если разностное отношение 0 0 + h) — f(x ) имеет односторонние пределы слева и h справа, то их называют соответственно левой и правой производными в точке х или производной слева и производ0 f(x ной справа. Производные слева и справа в точке х часто обозначают через D f(x ) и D f(x ). Для того чтобы функция f{x) была дифференцируема в точке JC , необходимо и достаточно, чтобы обе односторонние производные существовали и совпадали между собой. Может, однако, случиться, что производные слева и справа существуют, но различны. Например, функция f(x) = x (см. рис. 5) не имеет производной при лг = 0, но D f(0) = = — 1, D f(0) = + 1. Точки, в которых D f(x ) ф D f(x ) являются угловыми точками. 0 s 0 d 0 0 0 s d s Q d Q t Множество точек, в которых водные существуют и различны, правая и левая произне более чем счетно.