* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

44 ГЛ. I . ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [3.5 Назовем характеристической функцией множества В cz [а, Ь такую функцию ф (х), которая определена на [а, Ь] и равна единице в точках множества Е и нулю в точках дополнения. Множество Е и его характеристическая функция измеримы или неизмеримы одновременно. зать, что если функция f(x) эквивалентные f{x), также Функция g(x) называется эквивалентной функции f(x), если множество E{f^g} имеет меру нуль. Пользуясь введенным в § 2 термином, можно сказать, что функции называются эквивалентными, если они почти всюду совпадают или, иначе, их разность почти всюду равна нулю. Легко пока- измерима, то все измеримы. функции, Для измеримой функции f(x) при любом а измеримо не только множество E{f^>a, упомянутое в определении измеримости, но также и каждое из множеств E{f^a), E{f<^a), E{f^a} E{f—a. С другой стороны, измеримость хотя бы одного из множеств ?"{/;>= а}, Е {f<^a}, E{f^a] для любого а уже влечет измеримость функции. Нетрудно установить, что функция f(x), определенная и непрерывная на отрезке, измерима на нем. Так же просто y доказывается, что арифметические действия над измеримыми функциями приводят лишь к измеримым функциям. Структура теоремами. измеримых функций выясняется следующими а) Каковы бы ни были измеримая и почти всюду конечная на множестве Е функция f{x) и число s^>0, существует ограниченная измеримая функция 0 и е ^ О , существует непрерывная функция ${х), отличающаяся от f(x) не меньше чем на о лишь в точках множества, мера которого меньше е, mE{f— ф|^а}<>. Более детально выясняется природа измеримой функции с помощью введенного Н. Н. Лузиным понятия С-свойства.