* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

4.1] § 4. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ 45 Пусть на отрезке [а, Ь] задана измеримая функция f{x). Говорят, чта f(x) обладает С-свойством, если для всякого ? ^ > 0 найдется совершенное множество Р, на котором f(x) непрерывна и мера которого отличается от длины отрезка меньше чем на данное е, т. е. mP^b— а — е. Название С-свойства происходит от французского слова continu, что означает непрерывность. Т е о р е м а Н. Н. Л у з и н а . Для того чтобы функция f(x) обладала С-свойством, необходимо и достаточно, чтобы она была измерима и конечна почти всюду. Таким образом, всякую измеримую и почти всюду конечную функцию можно получить из некоторой непрерывной путем деформации ее на множестве сколь угодно малой меры. Приведенная теорема Н. Н. Лузина является одной из основных теорем теории функций действительного переменного. § 4. Производная и ее обобщения 1. Пусть функция f(x) определена на отрезке непрерывна в точке х ^ [а, Ь]. Отношение 0 [а, Ь] и /(х 0 + п) — f(x ) h 0 _f(x)—f(x ) х — XQ 0 называют разностным отношением для функции f(x) в данной точке. Производной f(x) в точке х называют предел этого разностного отношения 0 / ( Х о ) = И ш f(x, + П h)-f(x.) /г — О если он существует. Если этот предел конечен, то говорят, что f(x) дифференцируема в точке х . Непрерывность функции f(x) в точке х необходима, но не достаточна для дифференцируемое™. Чтобы убедиться в последнем, достаточно рассмотреть поведение функций у = х и х sin — при х Ф О, * О при х = 0 0 0 { в точке x = 0. ДЛЯ первой из них разностное отношение равно - | - 1 при п^>0 и — 1 при п<^0 (рис. 5). Для Q