* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

3.3] § 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 41 так что при достаточно больших п она может быть как угодно большой. Важным классом функций с ограниченной вариацией являются функции, удовлетворяющие условию Липшица. При этом конечная функция f(x) удовлетворяет на отрезке [а, Ь] условию Липшица, если существует такая константа К> что для любых двух точек х, у?а, Ь] f(.x)-f(y)<>Kx-y. В частности, функция f(x) удовлетворяет условию Липшица, если она имеет в каждой точке [а, Ь] производную, которая ограничена на отрезке. В этом случае за К можно принять верхнюю грань значений f (х). Функция f(x), удовлетворяющая условию Липшица на отрезке [а, Ь], имеет ограниченную вариацию на этом ь — а). отрезке и [ (f)^K(b а а) Сумма, разность и произведение двух функций с ограниченной вариацией суть функции с ограниченной вариацией. Частное двух функций с ограниченной вариацией, если знаменатель f(x) в каждой точке удовлетворяет условию f(x)^a^>0, также есть функция с ограниченной вариацией. б) Функция с ограниченной вариацией на отрезке ограничена на нем. в) Если отрезок [а, Ь] разбит на конечное число отрезков, то вариация функции на отрезке равна сумме вариаций на всех его частях. Отсюда следует, что если отрезок [а, Ь] можно разбить на конечное число частей, на каждой из которых f(x) будет монотонной^ то f(x) имеет ограниченную вариацию на [а, Ь г) Для того чтобы функция, имела ограниченную вариацию на отрезке [а, Ь необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена в виде разности двух функций, возрастающих на [а, Ь]. Используя свойства монотонных функций, отсюда заключаем немедленно, что Функции с ограниченной вариацией на отрезке обладают следующими свойствами: д) функция с ограниченной вариацией имеет не более чем счетное множество точек разрыва лишь первого рода и