* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

40 ГЛ. 1. ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [3.3 и составим для данного разбиения сумму л-1 V= 2 ft = 0 f{x )-f(x ). M k Если точная верхняя грань множества таких сумм по всем возможным разбиениям конечна, то ее называют полной вана отрезке [я, Ь] и обозначают так: риацией функции f(x) Ь л-1 V(/)=su 2 P |/(** о-/с**н + а функцию f{x) называют функцией с ограниченной вариацией на этом отрезке. Простейшими примерами функций с ограниченной вариацией являются монотонные функции. Полная вариация возрастающей функции равна ее приращению на данном отрезке. Действительно, так как все слагаемые в сумме, определяющей вариацию, для возрастающей функции всегда положительны, то при любом ъ разбиении V = fiP) — а f( )a Ясно, что функции с ограниченной вариацией могут быть разрывными. С другой стороны, непрерывные функции не обязательно имеют ограниченную вариацию. Так, функция у = х cos ~ , доопределенная условием у (0) = 0, непрерывна на отрезке [0, 1], но не имеет ограниченной вариации на этом отрезке. В самом деле, разбив при фиксированном п отрезок [0, 1] точками Рис. 4 ° < 2 Т < 2 ^ Г < - < 1 < Т < найдем, что для такого разбиения сумма V 1 & равна (рис. 4) п V = i+ f з - г ••• - >