* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

3.3] § 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 36 2. Функция f(x), определенная на множестве Е, называется возрастающей (или неубывающей) на этом множестве, если для любой пары точек х х%^Е из х^^>Х следует случае, когда последнее неравенство /0*e)^/G*i)& В имеет вид f(x^)^>f(xi), функцию называют строго возрастающей (иногда просто возрастающей). Аналогично, если для любых x х$(^Е из х{^>х еледует f(x )^f(x ), то функцию называют убывающей или не возрос тающей, а в случае f{x<^<^f(x^)— строго убывающей. Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями, соответственно строго возрастающие и строго убывающие — строго монотонными. Если функция f(x) возрастает, то функция—f(x) будет убывающей, и наоборот. Монотонные функции могут иметь лишь разрывы первого рода. Более того, если Е замкнуто, то множество точек разрыва монотонной функции не более чем счетно и для любого о^>0 существует лишь конечное число точек, в которых возрастающая функция имеет скачок больше <з. Пусть f(x) возрастает на отрезке [а, Ь]. Определим функцию скачков функции f(x), положив для х ? [а, Ь и т о м it х i l s(a) = 0, s(x) = [f(a + 0)-f(a)}+ x 2 k < x [/<** + 0 ) - / ( * * - 0 ) ] + + [/(*) -fix k - 0)] (a < x < b) здесь x — абсциссы скачков f(x). Тогда разность между возрастающей функцией и ее функцией скачков возрастает и непрерывна, т. е. всякую возрастающую функцию можно представить в виде суммы непрерывной возрастающей функции и функции скачков, которая, очевидно, тоже неубывающая. Аналогичная теорема имеет место и для убывающей функции. 3. Пусть функция f{x) определена и конечна на отрезке [а, Ь]. Разобьем отрезок на части точками а = х <^Х <^х% <^ ... <^x _i <^х 0 n п = Ь