* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

32 ГЛ. t. ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [2.3 Рассматривая аналогичное представление дополнения, можно получить приближение измеримого множества не только изнутри, но и снаружи: для всякого измеримого множества Е существуют В-множества E и Е^ той же меры, одно из которых содержится в множестве Е, а другое содержит его, т. е. t Ei 0 существует конечное число таких отрезков, что точки множества, не попавшие в них, и точки его дополнения, попавшие в них, образуют вместе множество меры меньше е. При изучении локальной структуры измеримых множеств положительной меры существенно используется понятие точек плотности. Пусть Е — измеримое множество, лежащее на отрезке [а, Ь], и х ? [ > ^1 — произвольная точка, принадлежащая или не принадлежащая Е. Обозначим через Д интервал длины Ь, содержащий точку х , а через т (А?) меру части Е, принадлежащей этому интервалу. Точку х называют точкой плотности множества Е, если а 0 й 0 ,. т(АЕ) lim — ~ - = 1. Л Если рассматриваемый предел равен нулю, то точку х назыразрежения. вают точкой Для множества, мера которого равна длине содержащего его отрезка (такие множества называются множествами полной меры), каждая точка отрезка является точкой плотности. Наоборот, если мера множества равна нулю, то каждая точка отрезка будет для этого множества точкой разрежения. Для измеримого множества ЕС1[а, Ь, мера которого удовле{)