* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

30 ГЛ. I . ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [2.2 Обозначим через mQ меру открытого множества Q, т. е. сумму длин составляющих его интервалов. Внешней мерой множества е Е называется нижняя грань мер открытых Е множеств, покрывающих Е. Обозначив внешнюю меру через т Е, имеем, по определению, т Е= е inf mQ. а=>Е в смысле Лебега, — а. если Множество Е называют измеримым т Е -f- т СЕ=Ь е е е В этом случае за меру Е принимают ее внешнюю меру и пишут тЕ— т Е. Разность Ь — а — т СЕ= е mfi е называют внутренней мерой *) множества Е. Поэтому множество Е измеримо тогда и только тогда, когда т Е= = m E. Мера Лебега измеримого множества есть общее значение его внешней и внутренней мер. t Свойства измеримых множеств выражаются теоремами: следующими а) Ограниченное счетное множество измеримо, и его мера равна нулю. б) Ограниченное множество Е, являющееся суммой конечного или счетного множества измеримых множеств E=^^E , измеримо. Если слагаемые попарно не пересеk каются, то тЕ=^ mE . k k k в) Разность двух измеримых измерима. Если ^ Э ^ а » т о множеств ?=Я ? 1 3 тЕ= mEi — тЕ* счетного множества г) Пересечение конечного или измеримых множеств измеримо. верхнюю грань мер замкнутых множеств, содержащихся в Е т ^ ? = sup тЕ, *) Внутреннюю меру множества^ Е можно определить также как }