* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

24 ГЛ. I . ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [1.6 точку или (—°°)» если она не ограничена справа (слева). Последовательность, имеющая верхним пределом - | - оо, может иметь своим нижним пределом — о о , произвольную точку оси или же - | - о о . Верхний предел последовательности обозначают символом lim sup а я—•со п или lim а л-*оо ю а нижний — символом lim inf а я-»оо п или lim а . п п-*со л л „ f l п—1) Например, для последовательности | — , ——J-, т. е. 1, О, JL-LJ_jL 2» 2& 3 & 3*4» L А ± _ i 4& n 5 > 5 ••• , , lim sup a = 1; я^со lim inf a = 0. n я-»оо Если верхний и нижний пределы последовательности совпадают, то последовательность имеет единственную предельную точку и сходится к ней. Верхний предел множества следует Отличать от его верхней грани. В то время как все элементы множества расположены левее его верхней грани, может существовать бесконечное подмножество их, расположенное справа от верхнего предела. Всякое бесконечное ограниченное множество имеет хотя бы одну предельную точку ( т е о р е м а Б о л ь ц а н о — Вейерштрасса). Точку а называют внутренней точкой множества Е, если существует такая окрестность а, все точки которой принадлежат Е. Множество, все точки которого являются внутренними, называется открытым множеством или областью (чтобы подчеркнуть, что речь идет о линейном множестве, говорят также «линейная область»). Примером открытого множества является произвольный интервал (а, Ь). Дополнение к замкнутому множеству открыто. Наоборот, дополнение к открытому множеству замкнуто. Действительно, пусть F — замкнутое множество и а ^ CF. В таком случае существует е-окрестность точки а, свободная от точек F, так как если бы в любой окрестности а