* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

1.6] § 1. ЛИНЕЙНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА 23 С другой стороны, если а = sup Е принадлежит множеству Е, то множество Е имеет самую правую точку. Аналогично точной нижней гранью (нижней гранью) множества Е мы назовем такую точку а, что для любого х?Е справедливо неравенство х ^ а и для всякого е ^ > 0 найдется у ?Е, для которого у<^а--в. Точную нижнюю грань множества Е обозначают через i n f ? = a. Ограниченное линейное точечное множество всегда имеет точную верхнюю и нижнюю грани. Пусть множество Е замкнуто и ограничено. Тогда inf Е ? Е и s u p Е ^ Е , т. е. ограниченное замкнутое множество содержит свои точные верхнюю и нижнюю грани. Иначе говоря, ограниченное замкнутое множество всегда имеет самую правую и самую левую точки. Обозначим через Е ограниченное линейное точечное множество. Верхним пределом множества Е называют точную верхнюю грань производного множества Е если оно не пусто. Так как производное множество всегда замкнуто, то верхний предел Е принадлежит Е Таким образом, верхний предел ограниченного множества Е есть самая правая предельная точка Е. Верхний предел Е обозначают через lim sup Z? или lim Е. Аналогично нижним пределом ограниченного множества называют самую левую предельную точку, т. е. точную нижнюю грань производного множества, если оно не пусто. Нижний предел множества Е обозначают через lim inf Е или lim?. Если множество Е не ограничено справа, то говорят, что его верхним пределом является --оо, l i m s u p ? = - | - оо. Нижним пределом множества может быть при этом — оо, lim inf ? = — оо, если оно не ограничено слева; любая конечная точка, если множество Е ограничено слева и имеет предельные точки, отличные от - | - оо; наконец, оо, Hm inf Е=-оо, если множество не имеет других предельных точек, кроме -- оо. Точно так же, если множество не ограничено слева, но ограничено справа и не имеет предельных точек, кроме — о о , то lim sup Е= lim inf Е — — оо. Аналогично определяются верхний и нижний пределы последовательности. Верхним (нижним), пределом последовательности а ) называют ее самую правую (левую) предельную п