* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

22 ГЛ. I . ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [1.6 Как уже было указано, члены последовательности могут повторяться. Поэтому следует различать предельные точки последовательности и предельные точки множества ее элементов. Предельная точка множества элементов последовательности непременно является предельной точкой последовательности. Обратное заключение не верно. Так, последовательность 0, 1, 0, 1 , . . . имеет две предельные точки 0 и 1. Однако множество элементов этой последовательности конечно и предельных точек иметь не может. Если последовательность имеет лишь одну предельную точку, то эта точка является пределом последовательности, т. е. последовательность сходится к этой точке. Для того чтобы точка а была предельной для множества Е, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность {•^л} G Е такая, что х ф x при п ф k и lim х = а. п k п П-+СО Множество всех предельных точек множества Е назымножеством и обозначают через Е вают производным Прибавляя к множеству Е производное множество Е&, получаем замыкание множества Е которое обозначают через Е: у Ё = Е + Е&. Множество Е называется замкнутым, если Е& Е. Иначе говоря, замкнутое множество содержит все свои предельные точки и совпадает со своим замыканием&. Е=Е. Каждое из этих свойств может быть принято за определение замкнутого множества. гранью Точку а мы будем называть точной верхней (или просто верхней гранью) множества Е, если для любой точки х Е справедливо неравенство х ^ а, но для любого е ] > 0 найдется точка у (~Е, для которой у^>а — е. Если а — точная верхняя грань Е, то пишут a = supE. При а ? Е можно для всякого е полагать у = а, так что верхняя грань может быть изолированной точкой; при а^-Е точка а необходимо является предельной. Например, точной верхней гранью отрезка [0, 1] и интервала (0, 1) является точка a s = l , а множества | 2 — ( я = 1 , 2,...) — точка а = 2. Если множество имеет самую правую точку, то точная верхняя грань множества совпадает с этой точкой.