* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

1.3] § 1. ЛИНЕЙНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА 15 Наиболее простыми из бесконечных множеств являются множества, эквивалентные множеству натуральных чисел. Такие множества называют счетными. Мощность счетного множества обозначается через $ (читается: алеф-нуль). В качестве примера счетного множества можно указать на последовательность, все элементы которой различны. С другой стороны, возможность установления взаимно однозначного соответствия между некоторым множеством и множеством натуральных чисел показывает, что элементы любого счетного множества могут быть расположены в виде последовательности. Множество всех целых чисел (положительных и отрицательных, вместе с нулем) счетно. Чтобы в этом убедиться, достаточно расположить их в виде последовательности 0 О, 1, — 1 , 2, —2, 3, —3, 4, —4, . . . Множество всех рациональных чисел *) отрезка [0, 1 ] счетно. Действительно, рациональные числа отрезка [0, 1] можно расположить в последовательность следующим образом: будем выписывать их в порядке возрастания знаменателя, а при одинаковых знаменателях — в порядке возрастания числителя, опуская сократимые дроби. Получится последовательность n i J _ J _ 2 - J _ i t - L 2 - _ 3 4 - j l _ 5 - и, 1, , , , , , , , , , , ,-.. Ясно, что каждое рациональное число х, удовлетворяющее условию O ^ J C ^ I , встречается в этой последовательности один и только один раз. Легко доказать, что даже множество всех рациональных чисел счетно. Для доказательства воспользуемся следующей геометрической иллюстрацией. Будем изображать рациональное число точкой плоскости, откладывая по оси Ох числитель, а по оси Оу — знаменатель, считая, что последний всегда положителен (для целых чисел, естественно, знаменатель следует считать равным единице). Множество рациональных чисел изобразится тогда решеткой, точки которой рас¬ *) Число а называется рациональным, если его можно пред о 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 б ставить в виде <х= — t где р и q — некоторые целые числа.