* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

14 ГЛ. I . ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [1.3 Следует иметь в виду, что члены последовательности могут быть равными между собой, тогда как элементы множества всегда предполагаются различными. Поэтому необходимо отличать последовательность от множества, состоящего из элементов этой последовательности. Это отличие является существенным даже и в том случае, когда все элементы последовательности различны: множество определяется элементами, из которых оно состоит, а для определения последовательности необходимо знать еще, в каком порядке эти элементы расположены. Например, последовательности { 1 , 2, 3, 4, 5, 6, . . . } и { 2 , 1, 4, 3, 6, 5, . . . } — различные, но состоят из одних и тех же элементов. 3. Пусть Л и В—два множества и каждому элементу множества А соответствует один и только один элемент множества В. Если в этом соответствии участвует к а ж д ы й элемент множества В, т. е. к а ж д о м у элементу множества В также ставится в соответствие один и только один элемент множества Л, то говорят, что между множествами Л и В установлено взаимно однозначное соответствие. Например, каждому элементу последовательности, все элементы которой различны, ставится в соответствие одно и только одно натуральное число — его номер; с другой стороны, каждое натуральное число является номером какого-то одного члена последовательности, так что мы имеем взаимно однозначное соответствие между множеством элементов последовательности и множеством натуральных чисел. Множества, между которыми можно установить взаимно или однозначное соответствие, называют эквивалентными равно мощны ми (имеющими одинаковую мощность). Эквивалентность множеств М и N записывается в виде M<-^N. Ясно, что конечные (т. е. состоящие из конечного числа элементов) множества равномощны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов. Никакое собственное подмножество конечного множества не может быть эквивалентно всему множеству. Для бесконечных множеств, наоборот, имеет место следующее свойство: у всякого бесконечного множества найдется собственное подмножество, эквивалентное самому множеству. Это свойство может быть принято за определение бесконечного множества.