* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

291 желалъ бы, чтобы планиметри&н была предоставлена своимъ собственным ь силамь, естественно будетъ искать такого бы построено доказательства, которое было только на аксномахъ плоскости; но, иовидимому, врядъ ли существуетъ такого рода доказательство, которое такъ или иначе не было бы связано съ исчис иешемъ о т р е з к о в ъ ; если мы, поэтому, желаем ь ограни­ чить себя аксиомами плоскости, то для этого необходимо поставить о подобии на совершенно другую основу. Н о для этого лъе сложная сист ема исчисления отръзковъ, какъ, наприм hp ь, учете необходима б о ­ система, предложенная Г п л ь б е р т о м ъ ; это задача, надь упрощешемъ которой въ настоящее время много работаютъ * ) . Тригонометрия съ формальной своей стороны также можеть быть постросииа независимо отъ п о н и ™ о б ъ обицей мт>р1>. т. е. независимо оть Архимедовой аксиомы, какь это обнаруживаетъ помоиищю „проекипоннаи о параметра", исчислеше отрьзковь съ случаями», пред юженное М о л л е р у п о м ъ Собственно, только вь примененш геометр1и къ сииеица иьнымъ ииитересно обраицаться кь измерешю и къ представляемилмъ практической жизнью или естествознашемъ, можеиьбыть числами», къ которымъ о н о которая доджииа суще­ геометрия, „не имъчоицее обмчиио. предстаприводить; но во всъхъ этихъ случаяхъ можно всеи&да удоволи ствоваться приближенной общей мерой /и двухъ отрезковъ, ствовать въ силу какъ заться область отъ аксиомы Архимеда. что Въ этихъ чистаю мышления, 4 пределахъ озииачает ь, можетъ собственно, соверинениио отка­ дословно и р р а и i о н а и ь н а го, и (къ единице) *; это отношения сделало бы ея развитие при помощи по¬ дается нятий гораздо более элементарнымъ. нежели то, и<оторое вляетсн натуральнее и я с н е е ; изложение. Для нашего в о з з р е н и й же иррациональность часто несомненно и решительно нельзя утверждать, что в и » ее н и школьномъ обучении геометр1я, оснои»анниая и а июшшяхь, должна заменить и собой наиуиядное Напротивъ того, билло бы очень жаль вь зародившие сточь пепосредственииую бы вздумали ввести въ школу чисто абстрактную иеометрию: это было бы лучшими, средствомъ задуиииить отъ тиюрчества радость созерииаюицей фантазии, свойственную юношеству, и восииитать людей, бедныхь духомь. Р а з в е только въ старишихъ киассахь, и когда ифоизводится повторение э иементарной геометрш, въ связи съ введешемъ въ теорию познашя, было бы )мксино указать и а лоиическое по­ и строение геометрш, ибо ариеметика и итомеирия, ииостроенныя и а чистыхъ и •_) Важнейииая литература • H i l b e r t , Grundlagen, 13 ff., § 22 ff. J M o l l e r u p , Studien over den plane geometrie axioiner. Kopenhagen 1903, также Math. Ann. 56 и 58; Г S c h u r , Math. Ann. 57, A. K n e s e r , Arch, fur Math, u Phys. (3. Reihe) Bd. i **) См. ссылку на стр 26f>