* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

§ 13 и „конгруэнтные" 146_ Они определяютъ тогда 1 1 лирные" „сферу", совпадала называть подо­ по которая устанавливаем съ э м п и р и ч е с к о й , этимъ б р а т ь эти о т р е з к и возможности ческомъ смысле 20. „конгруэнтность" мы собственно нетъ иного помощью привыкли построений § 5-го. Е с л и мы х о т и м ъ , ч т о б ы эта „ к о н г р у э н т н о с т ь которую Хщ у, с л о в о м ъ , т о для э т о г о конгруэнтными слова. средства, какъ (пользуясь, скажемъ, циркулемъ) н перпендикулярными въ э м п и р и - Этимъ мы не желаемъ сказать, что, основываясь на этихъ допувыполнять построения; мы хотели только безъ щешнхъ, можно п р а к т и ч е с к и дать м и н и м у м ъ операций, опирающихся на физические закошл (ибо нихъ мы не могли бы осуществить эмпирическую конгруэнтность и о р т о ­ гональность отрезковъ Xi у, ;{)> при помощи которыхъ дальше мы могли бы уже строить абстрактныхъ руживается, остальные и образил геометрии на осииованни совершеиино соотно­ обна­ построений что въ однозначно установить основныя шения, которыя требуются аксиомами. объекты н е о б х о д и м о единены нужно При этомъ к а т е г о р и ч е с к и геометрии „геометрической" ипринимать, известные к а к ъ н а п е р е д ъ данньие, у насъ здесь именно, точки, прямиля и плоскости,—что сюда должнпл бьить еще присо­ и другая эмпирически данныя, какъ, напримеръ, вь „равные и взаимно перпендикулярные" отрезки г*, у, ~, если мы хотимъ, чтобы логически построенная геометрия ее. повидимому, высказалт Гауссъ въ наииемъ и представлении совпа­ письме къ Б е с с е л н о свою математическую о пространстве зани­ истинъ совершенно наше познание ихъ необходимости здесь дала съ обычной. Эта точка зрения уже и е разъ вилсказывалась, первымъ и памятномъ (Bessel, 1 8 2 9 ) , вь которомь онъ такъ вьиражаетъ в е р у : „по глубочайиииему моему убеждению, учение маешь по отношению къ нашему иное положение, чемъ чистая совериииенно не имеетъ того знанпо наука о величинахъ; полнаго убеждения очевиднилхъ въ (а следовательно, и въ абсолютной ихъ истинности), которая свойственна последней. Мы должны смиренно признать, что въ то время, какь число представляетъ с о б о й и с к л ю ч и т е л ь н о продуктъ нанпего духа, пространство имеетъ реальное существование помимо и?аи1иего духа, которому мы, та­ кимъ образомъ, a priori не можемъ вполне предписывать законы". Слово „вполнЬ" здесь следуешь ииодчеркнуть, слово „пространство" билло бы точнее заменить выраженпемъ „пространственное расположение" Въ правильности логическаго формализма геометрии Г а у с с ъ , конечно, Hie сомневался; но н е о б х о д и м о с т ь уже убединлея, что помимо тЬхъ именно аксиомъ, на которили этотъ логически допустима въ настоящее время формализмъ опирается, могла казаться ему проблематичной, такъ какъ оииь Евклидовой геометрш ли поддерживать также гиперболическая. Можно более высокую оценку ариеметики —этоти, вопросъ м л оставимъ въ с т о р о н е . и