* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

423 В А Р И А Ц И О Н Н А Я СТАТИСТИКА 424 н и ж н ю ю , со з н а ч е н и я м и м е н ь ш и м и Же, и в е р х н ю ю , с о з н а ч е н и я м и б о л ь ш и м и Me. В к а ч е с т в е с в о д н о й х а р а к т е р и с т и к и Me чаще всего применяется п р и обработке ре­ з у л ь т а т о в т е с т и р о в а н и я . О п р е д е л е н и е Me д л я совокупности с небольшими N сводится к непосредственному у к а з а н и ю значения N+1 , что короче записывается: МN (2). Е с л и к а ж д о м у з н а ч е н и ю п р и з н а к а соот­ в е т с т в у е т о п р е д е л е н н а я ч а с т о т а (п), т о 2пя (3), п р и з н а к а у — j — -го объекта в р а н ж и р о ­ ванной совокупности п р и N нечетном, п р и четном N б е р е т с я с р е д н е е м е ж д у з н а ч е н и я ¬ м и п р и з н а к а у — г о о б ъ е к т а и I — + 11-го ( в п р и м е р е (1а) Ж е = 3 0 ] . В с л у ч а я х с о в о ­ купностей с большим N д л я элементарного в ы ч и с л е н и я Me и з р я д а ч а с т о т с о с т а в л я ю т р я д начетных сумм (к частоте первого интер­ в а л а прибавляется частота второго, к полу­ ченной сумме—частота третьего и т. д.; о б о з н а ч и в н а ч е т н ы е с у м м ы ч е р е з S, и м е е м : ?l = »V, ^ 2 = ^ ! + ^3 = ^ 2 + ^ 3 = % + п г т . е . с у м м е п р о и з в е д е н и й к а ж д о г о х н а соот­ в е т с т в у ю щ е е п, д е л е н н о й н а N. М у к а з ы ­ в а е т т у в е л и ч и н у п р и з н а к а , к а к а я б ы л а бы у всех объектов, если значения п р и з н а к а распределить поровну м е ж д у всеми объек­ тами (средняя заработная плата, средний рост и т . п . ) . Е с л и изменится значение х о т я бы у о д н о г о и з о б ъ е к т о в , т о и з м е н и т с я и Ж , 1 + п, % и «т. д . ) и , с р а в н и в а я н а ч е т н ы е с у м м ы с - у . определяем, в каком из интервалов на­ х о д и т с я Me; к е г о н и ж н е й г р а н и ц е п р и б а ­ вляется часть интервала, р а в н а я отноше­ нию разности между N и начетной суммой предыдущего и н т е р в а л а к частоте медианального интервала: N N —s где x _^—-нижняя граница интервала, в котором лежит медиана, Д—величина ин­ т е р в а л а , S _—начетная сумма предыду­ щего интервала, %—частота медианального интервала. i { правда, всего только н а изменения п р и з н а к а у отдельного объекта. К р о м е у к а з а н н ы х с р е д н и х Mo, Me и Ж , в В . с. иногда (сравнительно редко) приме­ няются средне-геометрическое М и среднегармоническое M . Средне-геометрическим из N каких-либо величин называется к о ­ р е н ь JV-й с т е п е н и и з п р о и з в е д е н и я э т и х в е ­ л и ч и н M — yfx . х . х ... x и вычисляется по ф о р м у л е : iogM = ~ s log х ; с р е д н е - г а р м о ­ ническое и з N чисел есть величина обрат­ н а я средне-арифметической обратных вели­ чин этих чисел: M = * • В специальд h N 9 1 г 3 N g { h t t Д л я примера ( П а ) х: 1,5—2—2,5 — 3 — 3,5 — 4 — 4 , 5 — 5 — 5,5 кг п: 5 53 254 558 487 127 19 2 S: 5 58 312 870 1357 1484 1503 1505 ~ 2 7 5 2 , 5 ; Д = 500; & 3 Me = 3 . 0 0 0 - г 5 0 0 - ^ Ь ^ — = = 3 . 3 9 6 а . ОО О П р и т а к о м в ы ч и с л е н и и Me д о п у с к а е т с я , что в н у т р и м е д и а н а т ь н о г о и н т е р в а л а з н а ч е ­ ния п р и з н а к а распределены равномерно. Б о л е е т о ч н ы е в ы ч и с л е н и я Me, к а к и Мо, с в я ­ заны с определением теоретической вариа­ ционной к р и в о й . Геометрическое определе­ ние: Же—абсцисса той ординаты в а р и а ц и о н ­ ной к р и в о й , к - р а я д е л и т п л о щ а д ь к р и в о й п о ­ п о л а м . Me, у ч и т ы в а я з н а ч е н и я п р и з н а к а у объектов в п о р я д к е и х п о с л е д о в а т е л ь н о с т и , не учитывает величин значений признака: можно к а к угодно вариировать значения признака в нижней половине, лишь бы они не п р е в о с х о д и л и Me, и к а к у г о д н о — в в е р х ­ н е й , л и ш ь бы в с е б ы л и б о л ь ш е Me; к т а к и м в а р и а ц и я м Me будет н е ч у в с т в и т е л ь н а , о с т а ­ нется неизменной. 3. Н а и б о л е е п р о с т о й и о б щ е п р и з н а н н о й с в о д н о й х а р а к т е р и с т и к о й «средней» в е л и ч и ­ ны, учитывающей и самые значения призна­ к а , я в л я е т с я с р е д н е - а р и ф м е т и ч е с к о е М (das arithmetische M i t t e l ) , о п р е д е л я е м о е ф о р ­ мулой: мN ~W^~x ных с л у ч а я х возможны сводные х а р а к т е р и ­ стики средней и д р у г и х конструкций. П р и помощи той и л и иной средней в ы я в л я е т с я характерное значение признака в данной с о в о к у п н о с т и ; о д н а к о , одной т а к о й с в о д н о й характеристики недостаточно: у д в у х сово­ купностей, с различными значениями при­ з н а к а у о б ъ е к т о в , с р е д н и е м о г у т быть оди­ н а к о в ы м и ( 9 , 10, 1 1 , 12, 13, 14, 1 5 — и х Ж = Ж е = 12 и 3, 5, 9, 12, 15, 18, 2 2 — т а к ж е Ж = Ж е = 12). Это р а з л и ч и е в о б щ е й форме выражается различием рассеяния значений п р и з н а к а . Большее и л и меньшее рассеяние в известной мере обусловливает надеж­ ность, значимость средней к а к х а р а к т е р ­ ной в е л и ч и н ы : ч е м б о л ь ш е р а с с е я н ы з н а ч е ­ н и я , т е м менее н а д е ж н а « с р е д н я я » . П о э т о м у о б ы ч н о вместе со с р е д н е й в е л и ч и н о й у к а з ы ­ вается и сводная характеристика рассея­ ния; это—второй ш а г в изучении статисти­ ческой совокупности. 1. С а м ы й э л е м е н т а р н ы й способ о п р е д е л е ­ ния рассеяния—указание пределов вариа­ ции, m a x i m u m & а и m i n i m u m & а значений признака (иногда используют амплитуду, р а з н о с т ь м е ж д у m a x i m u m & о м и minimum&oM). О д н а к о , это н е л ь з я с ч и т а т ь сводной х а р а к ­ теристикой рассеяния, так к а к maximum и m i n i m u m о п р е д е л я ю т собой т о л ь к о д в а к р а й ­ них з н а ч е н и я , наименее х а р а к т е р н ы х д л я всей с о в о к у п н о с т и в ц е л о м . M a x i m u m и m i n i m u m применяются только в тех слу­ ч а я х , к о г д а особенно в а ж н о з н а т ь п р е д е л ы вариации признака. 2. В к а ч е с т в е д р у г и х п о к а з а т е л е й р а с ­ с е я н и я , п о а н а л о г и и с Me, п р и н и м а ю т с я значения п р и з н а к а у серединных объек­ тов в нижней и верхней половинах сово- О),