* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

855 ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХЪ РАЗНОСТЕЙ 856 Бываютъ случаи, когда приходится отыскивать функ­ 1 V12» -^4 ye>Q I -^с — 30 240" Число А спящю по данной ея разности (подобио тому, к а к ъ въ интегральном* псчисленш отыскивают* функщю по зано съ такъ назын. числами Борпуллн В 1>э,... данной е я производной). Функщл, которой коноч­ ( - 1 ) ft—1 ная разность равна данной функщй, называется соотношешсмъ 2к = 1 . 2 . 3 . . . (2fc — 1 ) 2 Г первообразною функщей для этой последней, или °~ ея интеграломъ въ конечныхъ разностях*, или, на­ полнитольный член* R формулы Эйлера выражстсп конецъ, ея суммою. Это послёднее назваше про­ исходить отъ того, что если &F(z) — f(z\ то у (а + *А) - F(a) = Д а ) + Д а + Л) + . + такъ: /f „ = »/ А о.т 1У А Д m (п — 1) А) — Де). Такимъ образомъ наЩЯ (-) есть весьма замечательная m I—а целая hz ~ x функ.j 1.2...Ш хождеше всякаго значешя порвобразноЙ функщй 1 . 2 . . . ( J M — 1) F (а ~\- «А) иривощтсл къ выполношю н*котораго -\-... + A _ h - z, назы­ суммированы. Подо но произвольной постоянной 1 . 2 . . . (m — 2 ) при обыкновенныхъ интегралах* въ составъ инте­ ваемаяi функщсю Бернулли. Изъ формулы Эйлера функцг граловъ въ конечныхъ разностях* можетъ входить получается целый рядъ весьма замечательных* разслагаемым* любая величина, не изменяющаяся при ложешй въ бсзконечиыс ряды. Эти ряды весьма замене z на z - j - А (произвольная nepi одическая часто оказываются расходящимися, но, несмотря функщл съ першдомъ А). Только въ немногих* слу­ на это, служатъ нередко превосходным* средством* чалхъ удаетсл выразить сумму функщй прн по­ для приближенных* вычислена! благодаря тому, мощи конечнаго числа элементарныхъ функщй. что и х * расходимость обнаруживается лишь в * Такъ, напр., сумма целой функщй есть тоже це­ весьма удаленных* отъ начала членахъ ихъ. Сумма лая функщл, но степени на единицу выше. Сумма же несколькнхъ первыхъ членовъ пе только но уда­ функщй вида a y(x)S\n Ъх или a y(x)Cos Ьх, где ляется отъ разлагаемой функщй, по, наоборот*, моо(х) целая функщл, выражаются функщлми того ж е лсетъ при лзиестныхъ условшхъ подойти къ ней вида: а \^{х) Sin Ъх-\-Ь(х) Cosfix], где ш и 6 це­ сколь угодно близко и дать такнмъ образомъ ол лыя функщй той ж е степени, что н ср. Сумма функ- приближенное значеше со сколь угодной боль­ шой точностью. Представителем* такихъ форщи вида — — , ,— 1—, ; т ч е фувк- мулъ является знаменитая формула Стнрлппга z (г - f - A) (z -\- 2А) . . (z - f - kh) 1 M l m l x x х л с т ь В log ( 1 . 2 . 3 . . . . T ) = i ] o g 2т: logx-x + щя такого х а р а к т е р а ——г—гт ——j т , * * z (z + А) . . . (г + (к — 1) А ) ' i 1 1 . 2 где В некоторая постоянная. Отыскаше суммъ дающая возможность при­ фупкщи позволяет* суммировать и бсзконечиыс ближенно вычислять log ( 1 . 2 . 3 . . . х ) при боль­ ряды. Напр., для функщй f(z) — * суммою бу- ших* значошяхъ х. Изъ нея же получается к а к ъ z(z + i) следств1е весьма важная приближенная формула дет* (прн А = 1) функщя Ф(г) — . Так* как* 1 . 2 . 3 . . . х =£: | / 2 т : а ; . х с ~ (где ф есть знакъ z прпближеппаго равенства). Подобно обыкновопf{z) = АФ(г) — Ф (г - { - 1) — Ф(г), то находимъ: ным* дифферепщальнымъ уравпсн1лмъ приходится иногда разематривать такъ назыв. уравнешл въ - О ~ коисчныхъ разиостяхъ, даю пил зависимость между Л2) = ^ 3 = Ф ( 3 ) - Ф(2) независимой переменной, искомой функщей и ел последовательными разностями или (что то ж е ) последовательными эначешлмн. Т а ш я уравнешл можно привести къ следующему виду (у есть искомая функщл, х — независимое переменное, Отсюда ^ 2 + 2 ^ + - • • + ^ ^ Ф ( » + ] ) - которое проходить значеше 0, 1, 2, 3, 4 . . . ) : 7 Г Г Т I u х х т = ф ( 2 ) ф ( 1 ) Л») = ф Г ) = *(»+!)-*(»)• 5 ЯГ Г Т ) Д х - Ф ( 1 ) = - ^ п ( п р „ п = о о ) ^ - Ь ^ + . . . = 1. нен]*я интегрируются въ конечном* виде въ ред­ к и х * случаяхъ, напримеръ: 1) Лциопныл у р а в ­ Весьма замечательна формула Эйлсра-Маклореш-ъ нешл 1-го порядка: у _ ^ — Р y —Q , где дающая связь между суммами и обыкновенными инте- Р u Q функщй одного х. Общее решеше ость х х £ x x F У> х I • • • Ун-»)— * 0 T a K i j I у р а в " ь * х x гралами: ^f(x) + A h [fib) z m 2 = ± j f[z)dz +A, x п х m [Д5) h~ 2 ra Д а ) ] 42 y =y . t a 0 PJ\... Р , _ , + Р о Л • • • P.-v % где у произвольная постоянная. 2) Линейный одно— f< ~ \a)] — i ? . Здесь А ... суть некото­ родныл уранпешл какого угодно порядка съ постоян­ -f- viy^^i + ... + рый замечательный постоянная, определяемыя по- ными коэффищентами: y m й x + n f(a)] + . . . + А _ [/ - )(5) - следовательво уравнсшями: r-^g - f А = 0, г 1 1.2.3 * „ + + Pn-l У*+\ + Рп Ух = 0 » « («)• х суть независимый частныя рёшошя урапнен1й (а). З а и т. д. B c i числа А съ нечетными значками суть нули, кроме А которое равно — / . Вот* значе- нихъ можно принять выражешл вида т , где т есть н1я трехъ первыхъ чиселъ А съ четными значками: корень такъ назыв. характеристнческаго уравнешл и 1 х 2 ^1 + 1 . 2 Обшдй интеграл* изображается формулой у — + ^ а ~ 0 ' 1 . 2 . 3 . 4 ' 1.2.3 ' 1.2