* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
527 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛКШК 528 конечно большого числа беэконечно малыхъ слагаемыхъ и нахождеше разности двухъ яначешй порвообразной функции Ф (х) для а н b—приводить къ одному и тому же результату: определенному инте гралу. Устанавливается совершенно неожиданная связь между двумя, на первый взгллдъ, совершенно разнородными вопросами. Следуетъ только помнить, что все это выведено въ предположении, что пре делы конечны, а подпнтегральная функшя непре рывна. Если хоть одно изъ этихъ услов1Й на рушено, то и вышеупомянутая связь можетъ на рушиться, т.-е. пределъ суммы и разность двухъ значешй первообразной функции могутъ и но со впадать. Итакъ, въ I I . исчислении имеемъ д в а основныхъ понятия: I . Неопределенный интегралъ пли первообразная функция: т а к а я фуншпя, которой производная равна данной.—П. Определенный инте гралъ: пределъ суммы слагаемыхъ известнаго вида или разность двухъ значешй первообразной функции Сообразно этому и И. псчислеше распадается на три главвыхъ отдела: I . Отыскание неопределенныхъ интеграловъ—И. исчисление въ тесномъ смысле или такъ назыв. интегрирование функщй. I I . Teopin определенныхъ интеграловъ. 111. Прнложошя предыдущнхъ отделовъ.—Укажемъ ви;ратце содержаше этихъ отделовъ. 1. И н т е г р и р о в а ю е ф у н к н д й имеетъ целью указание правилъ, по которымъ можно было бы найти неопределенный интегралъ отъ дан ной функции. Такимъ образомъ задача его оче видно обратна основной задаче дпфференщальнаго исчисления н прнтомъ неопределенна, ибо суще ствуеть безчпсленное множество функщй, которыхъ производныя равны между собою, напр., произ водный функции х — 1 , х , х + 1, х - | - 2 . . . равны 2х. Однако, к а к ъ упомянуто выше, достаточно найти одну нзъ нихъ, чтобы получить все остальныя про стым'!, прибавлещемъ произвольной постоянной. Основной матер1алъ Teopin интегрировашя функщй получается черозъ обращеше основныхъ формулъ дифферешцальнаго исчисления по следующей схеме: если d Ф ( x ) = f(x)dx, то Ф ( х ) есть одиа изъ первообразныхъ функщй для я 2 3 3 dx I _ l _ ^ — arc t g x - f C. Отъ этихъ простейшпхъ интеграловъ можно пере ходить къ более сложнымъ, пользуясь темъ, что постолнныхъ мпожнтолей можно выносить пзъ-подъ знака интегрировашя и интегралъ отъ суммы за менять суммою ннтограловъ слагаомыхъ. Напр., пусть требуотсл найти x Имеемъ V = J ( х - 2 ] / х 2 + j)dx = Но по формуле (I) J x dx=y 2 2 ^ ^|/xdx=r /'dx ») и по формуле ( I I ) I ~ log х х 4 / Поэтому V = -£-—•£ х "j/x--J-log х + С. х 3 = J Г± х d x л v х 2 г Х 1) = з =з К Х Кроме того, существуютъ еще д в а общихъ способа длл того, чтобы приводить (если это возможно) более сложные интегралы къ предыдущнмъ более простымъ, имейте интегрирование черозъ подста новку и такъ назыв. интегрирование но частямъ. 1) И н т е г р и р о в а н 1 е ч е р е з ъ п о д с т а н о в к у . Чтобы найти новую V~ J*f(x)dx, t, вводнмъ некоторую Тогда переменную положпвъ x = 'f(t). V=:^y %[t])