* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

525 x ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 526 приращеше У о ( i - xi_,) < ^ S , < Y ( i i - х ^ ) , а это м о ж о заменить равенствомъ н Для этого дадимъ х некоторое AS, = Р(Х, - ! , _ , ) , 0 гд* Р есть некоторое среднее между у и Y . Но всякое среднее между наименьшей и наиболь­ шей ординатой дуги М _ Ш есть ордината не­ которой точки той ж е дуги, если только кривая непрерывна. Поэтому на дуге М ; _ М | найдется т а к а я точка N , для которой ордината K N будетъ какъ-раэъ р а в н а Р . Если положить ОК = ?! (при чемъ очевидно X j _ , < ^ < х . ),ToP = f(;j) и,следо­ вательно, AS = ( x - x _ ) f ( ; ) . 1 1 [ Х — i i i 1 l Поэтому Э = пред. ^ ( i " i-i) ( i ) x x f ? • (*)• Такимъ образомъ поставленный вопросъ приводится къ вычислешю предела суммы слагаемыхъ вида (ii — ) . Пореходитькъ пределу нужно, у в е ­ личивая п до безконечности и уменьшал до нуля каждую хорду М ^ М , , т.-е. каждую разность x — X j — i . Такого рода пределъ суммы и называется о п р е д е л е н н ы м ъ и н т е г р а л о и ъ функш'н f(x), вэятымъ между пределами а н Ь, и обозначается симь s P j ^ j P j = Дх, найдеиъ соответствующее приращеше Au Au и будемъ искать пред. при Дх = 0. Это и бу­ детъ искомая производная. Изъ чертежа ясно, что Ац есть площадь криволинейнаго четыреугольника P i - i M ^ j M J P J . Постропвъ соответственные входя­ щий и выходящий прямоугольники, мы совершенно т а к ъ ж е , к а к ъ и раньше, найдемъ Au = f(l)Ax где £ лежитъ между x ( = O P ; _ j ) и х + Д х ( = О Р , ) . Au Отсюда J J - = f(6), Если теперь подводить Ах 1съ 0, то с будетъ стре­ миться к ъ х, a f ( ; ) , в ъ силу (предполагаемой нами) непрерывности функций f(x), будетъ стремиться исъ пределу, равному f(x). Итакъ, du „ Такнмъ образомъ искомая площадь и есть т а к а я функция отъ х, которой производная р а в н а f(x), и мы приходпмъ исъ следующей основной задаче: найти функц1ю, к о т о р о й производная р а в н а д а н п о й . Функция Ф ( х ) , которой произ­ водная р а в н а данной функции f(x), называется первобразною ф у н к ц i е й или н е о п р е д е ­ л е н н ы м ъ и н т е г р а л о м ъ для f(x) и обозначается спмволомъ Функция f(x) называется подъинтегральной, число а ннжнимъ пределомъ инте­ J'f(x)dx, грала, Ъ верхнимъ пределомъ его. Итакъ, по опре­ делен iuo, таись что знакоположеше: Ф ( х ) = ^ * f ( x ) d x b i_ n воломъ J*f(x)dx. выра- Jf(x)dx=npe^^(Xi a и 2 n —Xj_ ) f(ej. t i= l Здесь х x ... x _ ! суть любыя числа, вставленныл между а и b, лишь бы к а ж д а я разность х — x въ пределе равнялась нулю, ^ есть некоторое число, лежащее между х _ и x Знакъ ^ н а з ы в а е м ы й i i — 1 { х ia знакомь интеграла, введснъ Лейбнпцемъ и есть старинное начертание буквы S, начальной буквы слова Summa (ибо интегралъ ость пределъ суммы). Слово «интегралъ» происходить отъ латннскаго « i n t e g e r * и обозначаетъ тоже сумму, совокупность. Прежде интегралъ писали безъ указания пределовъ. Обычай у к а з ы в а т ь пределы введенъ Ф у р ь о . Можно показать, что если а и Ъ суть конечный числа, а f(x) непрерывна длл всякаго х между а и Ь, то с у м м а (4) стремится к ъ одному н тому ж е опре­ деленному пределу, к а к ъ бы мы нп выбирали числа Xj п лишь бы в с е разности Xj — стремились къ нулю. Другими словами если пре­ делы конечны, а подинтегральпая функиля непре­ рывна между пределами интегрировашя, то опре­ деленный интегралъ наверно существуеть (т.-е. есть определенное конечное число). Т у ж е самую задачу о вычислены площади А ' A B B ' рйшпмъ теперь другпмъ способомъ и тогда прндомъ к ъ другому основному понят]ю И. печислешя. Воэьмемъ т у ж е кривую L , отнесенную къ темъ ж е оелмъ ОХ и OY. Чтобы граломъ опроделпть площадь S криволннойнаго четыреугольннка А ' А В В ' , возьмомъ (см.рис.) произвольную точку M j _ j дуги А В , соответствующую абсциссе i — 1 жаетъ собою не более и не менее, к а к ъ следующую мысль: производная отъ Ф ( х ) р а в н а f(x). Можно легко доказать, что если Ф ( х ) есть некоторая первообразная функция для f(x), и мы назовемъ черезъ С произвольную постоянную (т.-е. величину отъ х независящую, а в ъ остальномъ какую угодно), то Ф (х) + С будетъ тоже первообразная функция для f(x). Отсюда и происходить назвав1е «неопре­ деленный» интегралъ, ибо онъ можетъ содержать неопределенную постоянную С. Обратно, можно доказать, что сслп Ф ( х ) есть некоторая перво­ образная функцш для f(x), то всякую другую перво­ образную функция для f(x) можно изобразить фор­ мулою Ф ( х ) + С, где С—некоторая постоянная. Возвращаясь теперь к ъ нашему вопросу, видимъ, что площадь и будетъ т а к ж е некоторою перво­ образною функцш для f(x). Следовательно, если назовемъ черозъ Ф ( х ) какую угодно первообразную функцию для f(x), то будемъ иметь ц = Ф(х) + С . . . . (5). Постоянную С найдемъ изъ очевпднаго услов!я что и = 0 , если х = а . Поэтому 0 = Ф ( а ) + С, С = — Ф ( а ) и окончательно и = Ф ( х ) — Ф ( а ) . Следовательно, наша площадь S выразится т а к ъ : в = Ф(Ь)-Ф(а). Но раньше она выражалась определеннымъ интеь 0 0 0 0 J*f(x)dx. Стлло-быть, .(G). А(х)ах = Ф(Ь) — Ф ( п ) OP = х , и назовемъ площадь" А ' А М ^ Р ^ че­ резъ п. Очевидно, что и ость функция отъ х, н паше Такпмъ образомъ обнаруживается замечательное искомое S есть значеше и прн х — о. Чтобы оты­ научное явлеше: две, повпдимому, совершенно раз­ скать и, постараемся сначала найти ел производную личныхъ операции—иахождешс предела суммы без-