* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

557 ГИПЕРВОЛА—ГИПЕРБОЛЪ .558 динатъ (центръ Г.) и образують съ «сыо ОХ углы, логи съ тригонометрическими функциями sun х, cos x i определяемыми, какъ известно, при помощи Эйлекоторыхъ тангенсы суть + — - Асимптоты обла- ровыхъ формулъ xl - i i xi —xi даютъ гЬмъ свойствомъ, что ове не пересЬкаютъ о —е е + е Г., но, по мере удаления въ безковечность, Г . не­ smx~ ^ , cosx= к (гд* е есть 2i ограниченно приближается къ совпадешю съ асим­ птотами. Каждая вътвь Г. не выходить изъ угла оснований вэперовыхъ логариемовъ, a i r = 1 ) , между двумя асимптотами. Н а пересекающей оси иногда вводятся въ раэсмотрете такъ назыв. Г . А]А Г. лежать на разстоянш | / а + Ь отъ центра функпдп sinhyp х, cosbypx. Эти функщи опреде­ дв* зам*чательныя точки F и Б \ , называемыя ляются при помощи уравнешй фокусами Г. Оне обладаютъ темъ свойствомъ, что X —X X —X разность разстояшй любой точки М Г . до F и Е\ о -f-e е —о -, coshyp^ х -= есть величина постоянная, т.-е. не зависитъ отъ sinhy x r r Назва2 ' 2 положешя точки М. Эти разстояшя M F и M F j , на­ Hie Г. функции получаютъ оттого, что ихъ можно зываются радиусами векторами точки М. Изъ усло- выводить пзъ разсмотрен1я равносторонней гипер­ Bifl M F — M F = постоянной получается довольно болы, какъ трпгонометрпчесюя функщи получаются простой способъ для вычерчивашл Г. Если выра­ изъ icpyra. Возьмемъ равностороннюю гиперболу съ зить рад1усы векторы точки М черезъ ея абсциссу полуосью, равной единице. Проведемъ оси OA и ОВ. и полученный выражешя приравнять нулю, то по­ Начиная отъ точки А на гиперболе, возьмемъ про­ лучатся уравнешя двухъ прямыхъ D и D парал- извольную дугу АС. Изъ конца дуги С опустимъ лельныхъ оси О У и проходящихъ на раэстояши перпендендш;уляръ CD на а/е отъ нея, где е—такъ назыв. эксцентрицитета д1аметръ OA и пусть пло­ Г., равный y ^ + fr* . э прямыя называются ди- щадь сектора ОАС будетъ равна z. Тогда OD будетъ а ректрисами Г. и обладаютъ следующимъ замеча- coshyp 2z, a CD будетъ OD тельнымъ свойствомъ: отношеше разстояшй всякой sinhyp 2z. Обозначая черезъ х, CD черезъ у, мы точкп Г. до фокуса и до соответствующей директрпсы ость величина постояпнал, равная эксцентри­ получпмъ уравнеше гипер­ цитету Г. Если вместо декартовыхъ координата болы въ виде х — у — 1; взять поллрныя р и 0, при чемъ полюсь поместить отсюда мы зам*чаемъ, что въ одннъ пзъ фокусовъ Г., а поллрную ось напра­ между Г. функциями дол­ соотновить по пересекающей оси Г., то уравнеше Г. жно существовать шеше coshyp х — sinhyp х = 1, аналогичное прпнпмаетъ следующий замечательный видъ, приме­ съ тригонометрическимъ cos х + sin х ^ 1. няемый въ астроном] и: Кроме того, можно вводить функщю t g h y p x = р Ь sinhyp х . „ , Р = i + ecost>' Р = ~ Г (параметръ Г.). ~coshyp~x Теорема сложения Г. функций анало­ Наиболее простой видъ уравнеше Г. прини- гична съ соответственной теоремой тригонометрпмаета тогда, когда за координатный осп взяты асим¬ ческихъ. Эта теорема выражается формулами: sinhyp (х -}- у) = sinhvp х coshyp у + coshyp х птоты Г., именно оно будетъ х у = т , г д е т г=У ~г~^ > sinhyp у п coshyp (х + у) = coshyp х coshyp у — 2 sinhyp х sinhyp у. Г и п е р б о л о н д ъ (мат.)—подъ этимъ назва­ Г., выраженная уравнениемъ — — 1, шемъ известны два вида поверхностей второго называется сопряженною съ тою, которая дана порядка. 1) Однополый Г. Эта поверхность, отне­ х у сенная къ осямъ спмметрш, имеетъ уравнеше уравнешемъ —а ^- = 1. Центръ п асимптоты х . у z = 1. для обепхъ однпаковы. Пересекающая ось послед­ а Ь с ней будетъ непересекающею (мппмою) для сопря­ женной и обратно. Аполлоний ПсргеРсмй далъ за­ Однополый Г. есть поверхвость линейчатая, и на мечательный теоремы о сопряженныхъ д1аметрахъ ней лежать две системы прпмолинейныхъ образуюГ. Пусть имеются два сопряженныхъ диаметра н е ­ щихъ. Уравневия этихъ системъ суть: которой Г . Одинъ изъ нихъ пересекаетъ данную Г., к а другой" ей сопряженную. Пусть длина перваго • f + T = » ( l - t - ) полуди^метра будетъ а второго—Ъ а уголъ между 1 НИМИ—(р. Тогда для всякой пары сопряженныхъ полудиаметровъ будетъ иметь a — b j r r a — b и 2) Двуполый Г.—Поверхность, состоящая изъ ajbj sincp:=ab. Это п суть теоремы Аполлония. Оне выражаютъ въ геометрической форме свойство такъ двухъ отдельныхъ частей, определяемая уравнен. назыв. инвариантовъ лишй второго порядка. Кроме Аполлошевой Г., известны еще змеовидная а ' Ь с Г. (кривая третьяго порядка, данная уравнешемъ Z ху + aby — а х = 0) и такъ назыв. Г. в ы ш а г о Уравнение х + - у r — ~& = 0 есть уравнеше такъ g порядка, данныя уравнешемъ x y = a прп целыхъ п положительныхъ ш и п . Б. Ж. назыв. а с и м п т о т и ч е с к а г о конуса, къ которому Г и п е р б о л а — р и т о р и ч е с к а я фигура преуво- приближаются полы поверхности по мере удалсшя личешя, какъ, напр., въ выражешяхъ «кровь ли­ отъ вершинъ. Г и п е р б о л ъ (Hyperbolos)—сынъ Антифана, лась ручьями», «потъ катился градомъ». Гиперболический п а р а б о л о и д ъ — аеинянинъ, вождь демократической партш. Г . принадлежалъ къ классу ремесленниковъ и былъ см. Косая плоскость. Г и п е р б о л и ч е с к и ф у н к п Д и — п о ана­ фабрикантомъ лампъ. Выдвинулся сначала какъ 3 3 V U U U A a n т и а 3 3 3 3 3 2 т = % 3 аа а а а а 3 3 3 у а ь ь 8 2 3 a -f-r=i( +-J-) |т+-Ь4(н*). 3 а 3 — а 3 3 1т-т= (Ч)" t а 3 n m