* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

97 ГЕ0МЕТР1Я 98 общ^с аналитической, такъ какъ она обнимаетъ, кроме алгебраическихъ, также и трансцепдентныя кривыя и поверхности.—Въ начале X I X ст. появилась такъ назыв. н а ч е р т а т е л ь н а я Г. Эта Г., честь изобрътешя которой принадлежит* Монжу (1746—1818), учить изображать пространственные предметы на плоскости такъ, чтобы по этому изображению можно было точно судить о размерах* и форме предмета, а таисже о взаимном* расположенш частей. Основная идея этой методы состоигь въ томъ, что на чертежъ на­ носятся одновремепио две проекции данной фигуры, по на двухъ вэаимио периендикулярныхъ плоскостяхъ, или, говоря языком-* более общепонятным*, в* начертательной Г. предмет* определяется двумя чертежами, из* которых* один* представляет* план* этого предмета, а другой боковой вид* ого. Из* на­ шего указашя всяшй поймет* значеше этой части математики въ технике. Помимо универсальных* тсхническихъ приложений, начертательная Г. внесла много новаго въ науку: она поисазала связь между плоскими фигурами и фигурами въ пространстве и дала науке рядъ излщныхъ приемов* для получения теорем* иилоской Г. изъ свойствъ фигуръ въ про­ странстве. Каип. протнвовесъ аналитическому (алгебранчесисому и дифференциальному) направлешю въ Г . , появились работы, заключающий разработку но­ вых* чнето-геометрнческихъ upieMon*, составляю­ щих* такъ назыв. с и н т е т и ч е с к у ю или н о в у ю Г . Эта Г. есть иродолжеше геометрнческаго ана­ лиза древнихъ, которые решали геометрическия проблемы чисто-гоометрическимъспособомъ. Позднее отсюда развплись системы Г., которыл вообще отвле­ каются от* п о н я т величины и разематрнвают* только вопросы расположена геометрическихъ фи­ гуръ и ихъ соответствия, почему эти системы ныне называются п р о е к т и в н о й Г. Первыми работами в* этомъ направлеши надо считать работы Дозарга, Паскаля, Монжа. Далее идут* важнейшия работы: «Геометри*я положения* Карно; выдающееся сочине­ ний Понселе (1822) о проективных* свойствах* фи­ гуръ, где изложена теория взаимиыхъ поляръ п гомологических* фигуръ, откуда выведены все свой­ ства конических* сечений и поверхностей второго иорлдка; немецкнхъ ученыхъ Мебиуса', Плю1сксра и Штейнора; полное * развппе получили эти но­ вые приемы въ работахъ Шаля (изложены имъ подъ назвашемъ высшей Г. въ сочинении: «Geometxie superieure», 1852, и еще раньше въ cApergu histor i q u o , 1837), Штаудта (von Staudt, eGeometrie der Lage», 1847; « B e i t r a # e z u r Geounetrie der Lage», 1856—60) и Pefie (Reye, «Geometrie der Lage»). Привлекательная общность заключешй, достигае­ мых'* въ проективной Г., а также то, съ какою логкостью и удобствомъ трактуется въ ней Teopin коиическихъ ейчешй, и решаются весьма разнообраз­ ный задачи, сюда относящийся, вызвали особое в н и м а ш е . — Н е е в к л и д о в ы Г. Известно, что въ основании Г. древнихъ, или евклидовой Г., лежат* не­ который акешмы или предложешя, не подлежащая доказательству. Среди нихъ главнёйппя три: 1) две точки на плоскости определяют* положеше геоде­ зической (кратчайшей) лиши, проходящей черезъ нихъ: эта лиши есть прямая; 2) фигуры на пло­ скости можно переносить съ одного места плоскости на другое безъ изменения ихъ свойствъ; эта акешма необходима при доказательстве равенства треуголь­ ников* посредствомъ наложешя одного изъ нихъ на другой; наконец*, 3) известный У постулатъ Евклида, относящийся къ Teopin параллельвыхъ лн­ шй; оказывается, что въ Teopin параллельных* ли­ шй приходится одно изъ предложений принимать за постулатъ, все же остальныя предложешя вывоUUonuA Энциклопедически Словарь» т. XUU. дятся изъ него, при чемъ выборъ того или другого предложешя за ииостулатъ совершенно произволенъ; Евклид* принимает* за постулат* следующее пред­ ложено: «если некоторая прямая пересекает* две другихъ, при чемъ сумма внутреннихъ углов* по одну сторону секущей меньше двухъ прямых*, то разематриваемыя две прямыя при продолжении пере­ секаются, при чемъ пересекаются с* той стороны, где сумма внутреннихъ угловъ меньше двухъ пря­ мых*». Выдающееся математики пробовали выво­ дить евклидову акешму из* ииервыхъ двухъ, но все предложенныя доказательства имели более или ме­ нее искусно замаскированный логичешл допущения; отсюда явилась мысль, что третья акслома не есть следств1е первыхъ двухъ, а допущение совершенно самостоятельное, что окончательно было доисазано профессоромъ казанскаго университета Н. И. Лобачевскимъ. Лобачевсипй—первый опубликовав­ ший систему Г., независящую отъ У постулата,— разеуждалъ такъ: если мы примем* две первыл а ш о м ы , третью же отбросим*, или же, еще лучше, заменим* иредложешем* ей противореча­ щим*, п построим* на этих* акешмах* полную гео­ метрическую систему, то должно произойти одно изъ двухъ: 1) если постулатъ Евклида есть сл*дCTBie первыхъ двухъ, то мы, очовиидно, где-нибудь должны npifiTH къ абсурду, ибо строим* Г. на трех* прсдложеи1П1хъ, изъ которыхъ одно противоречить следствпо, вытекающему изъ первыхъ двухъ; 2) если же мы, строя геометричсс1сую систему, не придем* нигде къ логическому "противоречие, то это будетъ служить доказательствомъ, что ииостулатъ Евклида есть предложение, совершенно независящее on. первыхъ двухъ акеюнъ, которое мы въ праве были заменить предложением* новым*. Следуя приведен­ ным* выше раэсуждеипямъ, Лобачевыий принял* за постулатъ, что черезъ точку можно провести не одну прямую лишю, не пересекающуюся съ другой, каисъ это нм4етъ место въ Г. Евклида, и построилъ цтзлую геометричесисую систему, вполне логичную во всехъ ея частяхъ. Это показало, что третья акс1ома есть действительно предложеше самостоя­ тельное, заменою котораго другнмъ Л о б а ч е в ш й по­ лучилъ новую Г., известную подъ назвашемъ не­ евклидовой. Въ Г. Лобачевскаго сумма угловъ въ треугольнике меньше двухъ прямых*, что же ка­ сается равенства треугольников*, то все теоремы, относяшляся сюда, въ Г. Евклида суть те же, что и у Лобачевскаго, какъ основанныя на двухъ пер­ выхъ акешмахъ, общих* обенмъ Г. Р а з в и т о не­ евклидовой Г. распадается (по Ф. Клейну) на три першда. Первый, начальный перюдъ характери­ зуется синтетическим* направлением* и тесной связью съ Г. Евклида. Характорнымъ для этого периода является также непонимание идей неевкли­ довой Г. Гауссъ, который первый пришел* къ уб*Ьждешю въ недоказуемости У постулата, при жизни этого не опубликовал*, а работы Больяи (см. Бол1ай, V I I , 385) и Лобачевскаго прошли незамеченными. Только опубликование въ 1860-хъ годахъ писемъ Гаусса, въ которыхъ идеи неевклидовой Г. нахо­ дят* полное одобреше великаго математика, при­ влекли исъ нимъ внимаше. Окончательно неевкли­ дова Г. завоевала себе признание во второмъ пе­ риоде,— першде аналитическая ея изеледовашя. Бельтрами подошелъ къ проблеме съ точки зрйшя Teopin поверхностей и, разработавъ Teopiuo по­ верхностей постоянной кривизны, пришел* къ пора­ зительному выводу, что на псевдосферической по­ верхности осуществляется плоская Г. Лобачевскаго. Рнманъ развнлъ понятие о пространстве, какъ частномъ случае многообразия п измерешй, и пришелъ 4