* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

551 BAPIAHJOHHOE ИСЧИСЛЕНГЕ плоскости. Пусть (см. черт.) L будетъ искомая кри­ неше (2) будетъ представлять некоторую совокуп­ вая (т.-е. дающая наибольшее или наименьшее ность безчпеленнаго множества кривыхъ, получаю­ значеше интеграла). Между теми же крайними точ- щихся изъ (2) при разныхъ значешяхъ а. Такую совокупность принято называть с е м е й с т в о мъ к р п в ы х ъ . Мы теперь п предположимъ, что какъ искомая кривая L , такъ и всякая сменшая кривая L ' являются кривыми некоторая семейства, предста­ вленная уравнешемъ (2). Тогда вопросъ объ отыска­ нш кривой L приводится къ отысканш того значе­ шя а, при которомъ уравнеше (2) даетъ искомую кривую L . Для этого нзъ уравнешл (2) выводимъ dtp d v v y 2 d q> n v' y —I— dx> "— T 3 v (n) y w — —-- — dx ' — dxn 1 9-—х -7 3 ками А и В возьмемъ некоторую смежную кривую L ' (па черт, она обозначена пунктиромъ) и составимъ соответствующее значеше интеграла. Оно по­ лучится, если заменить у, у', у " . . . ихъ выраже­ ниями черезъ х, взятыми изъ уравнешя кривой L ' . Наэовемъ это звачеше J'. Такъ какъ мы пщемъ наибольшее (или наименьшее) изо всехъ возможныхъ значешй интеграла, то оно должно быть больше (илп меньше) и всехъ значен]'Й интеграла для смежныхъ кривыхъ. Другими словами, оно бу­ детъ также и макслмумомъ (пли миннмумомъ) инте­ грала, п мы должны иметь: для m a x i m u n r a . J'— J < 0 i для всякой смеж» m i n i m u m ' a . . J'— J > 0 i ной кривой. Пзъ этого yc.TOBifl мы и найдемъ уравнеше иско­ мой кривой. Заметнмъ прп этомъ, что слова «смеж­ ная кривая» можно понимать разнымъ образомъ. Можно предполагать (какъ обыкновенно п дБлаютъ), что точки кривыхъ L и L ' , нмеюпп'я одннаковыя абсциссы, будутъ беэконечно близки между собою, что и касательный въ нпхъ будутъ образовать беэ­ конечно малый уголъ н т. д. Но можно ставить за­ дачу и иначе, п тогда могутъ получаться и разныя решешл, такъ что, напр., некоторая кривая будетъ давать m a x i m u m интеграла, ослп сравнивать ее съ такими смежными кривыми, какъ указано выше, н не будетъ давать m a x i m u m ' a , если ее сравнивать со в с е м и возможными смежными кривыми (отсюда разлнчш такъ назыв. слабыхъ и сильныхъ m a x i m a или m i n i m a ) . Кроме того, приступая къ решсшю задачи, мы должны наложить некоторый ограниче­ н а на искомую кривую, именно для нея должны существовать проиэводныя у', у"... у( ), по крайней мере, настолько, чтобы интегралъ J имелъ смыслъ. Тутъ опять возможно значительное pa3Hoo6pasie въ постановке вопроса, смотря по тому, чтб мы предположнмъ относительно этихъ производныхъ. Иногда, напр., оказывается, что искомый m a x i m u m или minimum соответствуем некоторой л о м а н о й , проведенной черезъ А и В. Не гоняясь за такою общностью изслъдовашя, постараемся дать пошгпе о сущности метода В. исчисления. Пусть имеете» уравнеше вида у = « (х, а), р (2) где а есть некоторый параметръ, могущий принимать любое значеше (если не какое угодно, то хотя между некоторыми двумя границами). Геометрически урав­ и и вставляемъ эти выражешл въ интегралъ J. Подънитегральная функщя делается функщей отъ х н а. После интегрированш J оказывается фупкщей одного а, н остается, по правпламъ дифференциаль­ н а я исчислешл, найти то значеше а, при которомъ J обращается въ m a x i m u m или m i n i m u m . Для этого, какъ известно, нужно приравнять нулю производ­ ную пли дифференщалъ отъ J по а. Это и дастъ уравнеше для онределешл а, п задача будетъ ре­ шена. Такимъ образомъ, мы могли бы с с fi часъ же привести задачу В. исчисления къ задаче дифферен­ циальная исчпелошя, если бы э н а л п y p a n n o u i e т о г о с е м е й с т в а к р и в ы х ъ , къ которому при­ надлежать пскомая кривая L и все смежный крнвыя. Такъ какъ, однако, это уравнеше намъ не известно, то нужно пользоваться вышеизложенной идеей такъ, чтобы не приходилось ссылаться на форму уравнешя (2). Мы видимъ, что намъ приходится разсматривать дпфференщалы двухъ родовъ- относи¬ тельно х и относительно а. Во иэбежаше путаницы сохранпмъ за первыми прежшй символъ d u прежнее имя—дифференщалъ, а вторые будемъ обозначать снмволомъ о и называть B a p i a u i f l M n . Итакъ, ваpianifl есть дифференщалъ, взятый по перемен­ ному а. Отсюда вытекаотъ, что действш днфференцировашл н варшрованш можно переставлять, сколько бы разъ мы пхъ ни повторяли, такъ, что d o n u ~ & n d u , ибо въ днфференщальномъ исчис­ лении доказана возможность переставлять (при известныхъ услов!лхъ) дифференцировашл по двумъ развымъ переменнымъ. Съ геометрической точки зрешя дифференцнровашю (изменешю х при постоянномъ а) соответствуете переходъ вдоль одной и той же кривой семейства, а варшрованш (изме­ нешю а при постоянномъ х ) соответствуете пере­ ходъ отъ одной кривой семейства къ другой. Те­ перь услов1е raaximum'a пли m i n i m u m ' a будетъ 1 оJ —о Fdx = 0. (3) J х Остается развернуть и нзеледовать это услов1е. Въ ypaBHeHin (3) приходится дифференцировать опре­ деленный интегралъ по параметру а. Считая, для простоты, пределы х и х независящими отъ а и допуская применимость известная правила диффе­ ренццровашл интеграла по ' параметру, замеппмъ уравнеше (3) такимъ m m Г 0 0 г (4) Такъ какъ определенно) J xo подчиняется такимъ лес правнламъ, какъ дифференцпроваше, то, положивъ длл краткости, _ у J J L _ Y V Y dy" — * ' " dyOO *' dy' — dy" n ' находимъ BF = Yoy + Y^y' - f Y By" + + Y BO yO и имеемъ d F 1 1 1 2 — 2 n 0. Г BFdx = своему варшроваше (по 4 xo YSydx + J / x Y^y'dx + 0 +