* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

543 АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПР0ГРЕСС1Я—АРИвМЕТНЧЕСКИ-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СРЕДНЯЯ 544 зультата а пзъ р такихъ же наблюдешй, то вместо простой А. средней должно взять величину . Р1&1+Рза +--+Рп а р р 4_,, — , короче S p i a i : S p i . Принципъ А. средней, прп выводе наиблагонадежнейшаго результата, вероятно, применялся более или менее сиучайнымъ образомъ, уже въ древности. Однако, до Лежандра и въ особенности Гаусса, т.-о. до X I X столе™, не существовало теорш ошибокъ и систематическихъ способовъ вычислешя резулътатовъ наблюдешй, а поняпе средней какъ типа было впервые прочно установлено въ науке тру­ дами Кетле, въ средине настоящаго столе™. А. средняя и прпложеше ея къ выводу наилучшаго результата пзъ ряда несогласныхъ наблюдешй по­ родила целую литературу, до сихъ поръ еще не сказавшую последняго слова о пределахъ примени­ мости этого способа. Сшапареллп показалъ, что А. средняя есть единственная функщл системы чи­ селъ, обладающая следующими двумя свойствами: 1) она не изменяется отъ изменешя единицъ. въ которыхъ выражены эти числа, т.-е. аналитически: если все данныя числа увеличить въ m разъ, то и средняя увеличится въ m разъ, н 2) она 1 1 1 1 0 ( Ю О О + + о + Ч Ч - о + о о + + о о о + ^ + + о , не изменяется отъ перемещетя точки нуля, отъ где + означаетъ место хриотанина, а 0 турка которой отсчитываются данныя числа, т.-е. если ко Арнеметическая прогресс!я есть всемъ даннымъ числамъ прибавить некотороо рядъ чиселъ, нзъ которыхъ каждое последующее число Ъ, то и къ средней прибавится то же число h . разнится отъ предыдущаго на одну и ту же вели­ Ариеметпчески - гармоническая чину, напримеръ, 1, 4, 7, 10, . . . А. прогрессш могутъ быть возрастаюпп'я или убываюпп'я. Легко с р е д н я я изъ двухъ чиселъ получается следующнмъ убедиться въ слъдующихъ свойствахъ А. прогрессш. образомъ. Пусть данныя числа суть а и Ъ<а. СоСумма пары членовъ ограниченной A. прогрессш, ставимъ ихъ ариеметическую среднюю ^ и гармо­ одинаково отстоящихъ огь обоихъ концовъ ея, есть ническую среднюю Ъ т.-е. найдемъ a = H ( a - f - h ) и 2ah величина постоянная. Сумма всехъ членовъ A. npo­ такимъ же образомъ составимъ rpeccin равна пропзведешю иэъ полусуммы крайнихъ a+h' членовъ ея на число членовъ. Все вопросы, относя­ 2а Ъ! щееся къ A. nporpeccin, решаются посредствомъ a = ^ ( a f h ) n h = _ | _ и т. д. Числа а, а аа.... п(а + 1) и h, hi, h будутъ представлять—первыя убываю­ двухъ формулъ 1 = а + (п — 1) г, s=. ^ > выра- щей рядъ, вторыя—возрастающей. Всъ числа перваго жающихъ зависимость между первымъ членомъ ряда больше всехъ чиселъ втораго, и оба ряда стре­ nporpeccin а, последнпмъ членомъ ея 1, разностью мятся къ одному и тому же пределу, который и nporpeccin г, числомъ ея членовъ п и суммою s. есть А.-гармоническая средняя. Означимъ ее АН. А р и ф м е т и ч е с к а я с р е д н я я изъ несколь­ Покажемъ, что АН двухъ чиселъ равно геометрикихъ величинъ получается раэделешемъ суммы 2ah этихъ величинъ на ихъ число. Такъ, А. средняя ческой средней ихъ. Въ самомъ деле, hj=: _ ^ ^ = п э п 1 + 3 + р п д и metique amusante, divinatoire). Подъ этныъ словомъ подразумевается искусство определять по­ средствомъ вычислены кашя-либо загаданный числа или карты, или находить относительный по­ рядокъ, при которомъ удовлетворяются известный условш. Д л примера приведемъ следующую задачу, которая, наравне съ другими, была распространена въ конце X Y I I I столетия—въ перюдъ, когда А. увеселительная занимала умы и непраэдныхъ лю­ дей. На корабле въ числе экипажа было 15 турокъ и 15 хриспанъ. Застигнувшая ихъ буря за­ ставляла принять все меры къ спасение. Когда ИЗЛПШШЙ баластъ былъ выброшенъ за борть, капптанъ корабля объявилъ, что необходимо бросить въ море половину экипажа для спасешя другой. Было решено, выстроивъ весь экииажъ въ одипъ рядъ, бросать за бортъ каждаго девятаго по счету, про­ должая счетъ постоянно съ одного и того же конца. Калитанъ распорядился заранее такъ выстроить свой экииажъ, чтобы но жребш былп выброшены за бортъ все 15 турокъ, а жизнь хрисианъ была спасена. Какъ былъ выстроенъ экипажъ? Ответомъ служить следующая д1аграмма: 1 2 3 x 1 3 a j n i 1т 3 а изъ а„ а з , . . а есть а=—(ai+aj+..-f-ап ). п Главныя = - \ следовательно, a ^ ^ a h ; точно также a.jh = a свойства А. средней содержатся въ следующпхъ двухъ положешяхъ. 1) Сумма уклонетй всёхъ дан­ ныхъ величинъ отъ ихъ А. средней равна нулю; такъ, изъ написанной формулы, очевидно, следуетъ: (а —а)+(а2—а)-|-..+(а — а ) = 0 , что и требуется до­ казать. 2) Выраясеше (a —х)Ц-(аа—х) +(ап — х ) обращается .въ minimum при х = а . действи­ тельно, положпвъ х = а ± Ъ , находимъ S(ai — a + h ) ^ =2(as —a)2ip2h£(ai — a ) + n h = £ ( a i — a) +nh , ибо I(ai — a)=0 по доказанному. Стало-быть, сумма X(ai — x) обращается въ minimum при h==0, т.-е. при х = а . А. средняя имеетъ обширное применете н громадное значеше во всехъ научныхъ измерешяхъ или счислешяхъ. Если проиэведенъ рядъ на­ блюдешй надъ величиною какого-нибудь объекта, и для этой величины найдены различный значения а,, а-,.. а , то наибдагонадежнейшео значеше из­ меренной величины есть а—А. средняя изъ отдель­ ныхъ наблюденШ. Это имеетъ место въ томъ слу­ чае, когда измерешя ai одинаково точны и досто­ верны, т.-е. равновесии. Если же точность этихъ измерешй пе одинакова, если, напримеръ, резуль­ тату aj полученъ изъ Pi отдельныхъ наблюдешй, результата а пзъ р такихъ же наблюдешй, . . . ре­ х п 2 э t 3 2 a a 3 п 2 а ^ а ^ ^ а Ь , что требовалось доказать; наконецъ, anhn =ah. Но . а — h ^ ^ b , если b есть АН между а а и Ь; итакъ, b = j / a h , что требовалось доказать. Следств1е: АН изъ какого-нибудь числа и единицы есть квадратный корень изъ этого числа, т.-е. АН(а, 1)= V а. Итакъ, чтобы найти 1^а, можно по­ ступить следующимъ образомъ: найти ариеметиче­ скую среднюю а! нзъ а и 1 и гармоническую сред­ нюю hi изъ а и 1; затемъ ариеметическую среднюю аз изъ а и hi и гармоническую среднюю Ь изъ а и hi и т. д.; числа ai и hi будутъ _быстро схо­ диться и стремиться къ пределу = } / а . Примерь, а = 2 п = 1 а!=1.5000000 hj—1.3533333 3^1.4166666 h =1.4117647 ag -1.4142157 h =1.4142114 a^l.4142136 h4=1.4142136, : э х a 3 итакъ \/2 =1.4142136. Ариометически - геометрическая с р е д н я я иэъ двухъ чиселъ получается следующимъ образомъ. Пусть данныя числасуть а и g < a . Со­ ставимъ ихъ ариеметическую среднюю а^ и гоо-