* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

i 10. И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й 75 Н о правая часть этого равенства принадлежит к области опре­ деления оператора р^ (см. 5° и 7° § 6 ) , откуда следует, что φ(ί) дифференцируема η раз и φ $ = О (s = 0 , 1 , . . . , η — 1). Следова­ тельно, дифференцируема η раз и χ (t) и х{*] = x ( s = 0 l, ... ..., η — 1). 1 a 9 x Таким образом, функция χ (t) = χ (ρ) η удовлетворяет началь­ ным условиям уравнения (10.1). Проделывая обратный ход вычи­ слений от (10.7) к (10.3) и дальше к (10.2), мы убеждаемся, что ( t ) удовлетворяет уравнению (10.1). Если в начальный момент X = X = . . . = х -\ = 0, то реше­ ние становится особенно простым 0 1 п Также просто решается дифференциально-разностное уравнение с постоянными коэффициентами: *<">(*) = " f f a&W {t-h ) k +g (ί), 0 < * < о о и h >0. k (10.8) Ради простоты начальные условия будем считать нулевыми. Следовательно, требуется найти решение уравнения (10.8) при условии, что χ (0) = я ' (0) = . . . = ж > (0) = 0 . При этом мы пола­ (п-1 гаем x(t)=x r (/)=... = х^ ~^ (t) = 0 для ί < 0 . п Вспоминая теорему запаздывания уравнение для nx ( 8 . 4 ) , найдем операторное х(р): P (P)= "Σ A-O <-kP e- k x(p)+g(p), k h p откуда A-O Обозначая ω (ρ) = — , имеем *<«>=^Р-т=^гР- ( 1 0 · 9 ) Докажем, что (10.9) действительно дает решение. Очевидно, существует такая постоянная Q что для всех ρ из полуплоскости Re (ρ) > σ > 0 имеет место t 0 I-(P)K