* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

§ 23 20] Основы теории вероятностей и статистики 681 явления /гамма-лучей за период 7 п р и скорости λ есть (XTY - * т />(v = r ) = Я (г) = где λ — число гамма-лучей в секунду; T= 10~ . 2. Пространство выборок д л я этой задачи можно представить к а к бесконечное (несчет­ ное) число точек; в нем к а ж д а я точка г (г = О, I 2,..., со) соответствует появлению г гаммалучей в 1 мксек С л у ч а й н а я величина х при­ писываемая точке г будет тогда величиной 50 000 г пропущенных гамма-лучей в 1 сек. Математическое ожидание числа пропущенных гамма-лучей Е(х ) будет тогда. в 1 п у г СО OO E (χ.) = со ^ г=0 xP r (г) = V г = 0 50 ООО г ^e- T l X = = 0-Ь У 50000 Γ ^ * ~ λ Α Γ =50000.0,056- Λ Γ Χ χ V ^ L · = 50 000 . 0,05 Ш (г — 1)! г= 1 *- Λ Y = T = 50 000 XT = 0,05 λ; λ = 50 000 + 0,05 λ; λ = 52 632. Ожидаемая скорость и с п у с к а н и я гамма-луча равна п р и б л и з и т е л ь н о 52 632 в секунду. З а ­ метим, что это такой же ответ, к а к и ответ, полученный из наблюдения, что среднее время пропуска будет 0,05 сек, т а к что гамма-лучи образуются в количестве 50 000 эа 0,95 сек, или 50 000/0,95=^52 632/1 сек. Пример 23-35 Каково математическое ожидание величины постоянной составляющей н а п р я ж е н и я на вы­ ходе двухполупериодного диодного детектора, если среднеквадратичное значение н а п р я ж е н и я на входе от теплового шума р а в н о 1 в (потерями пренебречь). Решение 1. Распределение шума иа входе нормаль­ ное На выходе распределение нормальное одно­ стороннее, т. е. функция плотности 0 1 Jz 2π r Следовательно, при среднеквадратичном зна­ чении н а п р я ж е н и я теплового шума 1 в постоян­ ная составляющая на выходе будет 0,7979 е. Это соотношение справедливо независимо от спектрального распределения шума на входе до тех пор, пока средняя величина, т. е. мате­ матическое ожидание величины шума на входе, равна нулю. 23-20и. Моменты распределения и харак­ теристической функции. Между многими свой­ ствами функций плотности вероятности и функ­ циями плотности масс может быть проведена п р я м а я а н а л о г и я . При рассмотрении одномер­ ной функции плотности вероятности аналогия проводится в предположении, что масса, рав­ ная по величине единице, распределена вдоль линии т а к и м образом, что расстояние вдоль линии представляет значение случайной вели­ чины, а плотность массы в любой точке равна плотности вероятности для значения случай­ ной величины, соответствующей этой точке. Д л я дискретного распределения масса разде­ ляется на «точечные массы»; для непрерывного распределения масса распределяется непре­ рывно, а не сосредоточивается в дискретных точках. Эта а н а л о г и я может быть распростра­ нена на многомерные распределения вероятно­ стей, п о л а г а я , что координаты распределения масс аналогичны з н а ч е н и я м координат случай­ ной величины. Если воспользоваться этой ана­ логией, то математическое ожидание случай­ ной величины будет аналогом центра тяжести распределения масс. Аналогия может быть продолжена, если исследовать сходство между моментами распределения вероятностей высшего порядка и моментами высшего порядка распре­ деления масс, например моментами инерции. Д л я одномерного распределения масс М(х), распределенных непрерывно, момент инерции J относительно оси, проходящей через точку C л е ж а щ у ю на л и н и и , будет: f OO J = £ (χ — с ) M (χ) dx. 9 (23-198) Д л я одномерного распределения масс М(х ) (где г = 0, 1, 2, . . . , Ν), распределенных ди­ скретно, момент инерции / относительно оси, проходящей через точку С, л е ж а щ у ю на линии, будет: г N (лг<0); (J t s s s O) f J = 2 (Xr - с)* M (х ). г (23-199) где σ — среднеквадратичная величина напря­ жения шума на входе, а именно 1,0 в. Д в о й к а появляется по той причине, что интеграл от функции плотности между — с о и со должен быть равен единице. 2. Из уравнения (23-197) математическое ожидание величины распределения будет: OO O O Аналогичными уравнениями д л я функций рас­ пределения вероятностей я в л я ю т с я : СП E [(χ — с ) ] = И й £ (χ — с)*/(je) dx — OO (23-200) JV Е(х) = £ xf (χ) dx = 2 J e X E [(χ - с) ] = г 3 2 (х г - с) P(Jc ) r 2 l (23-201) Y L· 7979σ. где f(x) и P (х ) я в л я ю т с я соответственно непре­ рывными и дискретными функциями плотности вероятности. t X dx = 2