* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

680 Анализ цепей [гл. 23 2. И з таблицы Φ (χ) находим: 1 — Φ (jc j + Φ (X ) = 1 — 0,99997 + '0,00003 = = 0,00006. 3. Согласно частотному определению ве­ роятности сведений процент времени, когда детектор будет п о к а з ы в а т ь н а п р я ж е н и е , обу­ словленное наличием т о л ь к о шума, будет 100Х X 0,00006 или 0,006 процента времени. s 1 Пример 23-33 Д в а приемника, настроенных на одну и ту ж е частоту, имеют детекторы «наличия сиг­ нала» с установленными у р о в н я м и детектиро­ вания, в 2,7 раза большими, чем среднеква­ дратичная величина н а п р я ж е н и я шума. Ка­ кова вероятность того, что в любой определен­ ный момент в обоих п р и е м н и к а х п о я в я т с я на­ п р я ж е н и я на выходе, обусловленные тепловыми шумами, величина которых больше, чем поро­ говые величины уровней детектирования, если источники шума в двух приемниках взаимонезависимы. Решение 1. По уравнению (23-178) вероятность того, что оба приемника у к а ж у т на напряжение,превышающее пороговую величину, равна произ­ ведению отдельных вероятностей д л я каждого приемника, так к а к источники предполагаются независимы ми. 2. В любой частный момент времени ве­ роятность того, что один приемник п о к а ж е т н а п р я ж е н и е , превышающее пороговую вели­ чину, будет: 1 — Φ (2,7) + Φ (— 2,7) = 1 — 0,99653 + + 0,00347 = 0,00694. 3. Вероятность того, что н а п р я ж е н и е на выходе обоих приемников одновременно превы­ сит пороговую величину, будет тогда: 0,00694 0,00694 = 0,000048. 23-20э. Случайные величины и математиче­ ские ожидания. Любая величина, которая мо­ жет принимать различные значения, каждому из которых приписывается вероятность его по­ я в л е н и я , называется случайной величиной. Т а к и м образом, случайная величина является функцией частного пространства выборок, т а к как к а ж д а я точка в пространстве выборок опре­ деляет значение случайной величины и, следо­ вательно, приписанную ей вероятность. Напри­ мер, если выбрать п я т ь сопротивлений из пар­ тии изделий, то параметры любого сопротивле­ ния могут быть либо в пределах технических требований, либо вне и х . Пространство выбо­ рок может быть образовано из 2 точек, к а ж д а я из которых будет представлять частную комби­ нацию хороших и плохих сопротивлений, т. е. чатное «состояние» хороших и плохих сопроти­ влений. ( Н а п р и м е р , R — хорошее, R — хо­ рошее, R — плохое, R — хорошее, R^ — пло­ хое будет одним из возможных «состояний» сопротивлений.) Случайная величина могла бы быть определена в этом пространстве выбо­ рок к а к число сопротивлений, не удовлетворяю­ щих допускам, представленным каждой выбо­ рочной точкой. Д р у г а я случайная величина могла бы быть определена, если обозначить в пространстве выборок каждого хорошее со­ 5 i 9 3 i противление через 1, а каждое неисправное со­ противление через 0. В этом случае случайная величина была бы величиной пяти измерений. [ Н а п р и м е р , одно из значений случайной вели­ чины было бы (0,1, 0, 0, 0).] В первом случае случайная величина принимала бы одно из шести значений (0, 1, 2, 3, 4, 5) в каждой точке пространства выборок. В о в т о р о м с л у ч а е имеется 2 значений случайной величины, причем раз­ личное значение д л я каждой точки выборочного пространства. Т а к к а к по определению каждой точке выборочного пространства приписывается некоторая вероятность, то можно вычислить вероятность к а ж д о г о из значений либо этих случайных величин, либо другой случайной величины, которая могла бы быть определена. Случайные величины определяются в простран­ ствах выборок, которые являются непрерыв­ ными (т. е. т а м , где применяются непрерывные распределения вероятностей), т а к и м ж е обра­ зом, к а к они определяются д л я дискретных выборочных пространств. И в этом случае они могут быть одномерными и многомерными. Одним из наиболее основных понятий тео­ рии вероятностей является среднее значение случайной величины. Оно т а к ж е называется математическим ожиданием случайной вели­ чины. В о з в р а щ а я с ь к частотному определению вероятности, припишем каждой точке г (г = = 0, 1, . . . , N) выборочного пространства ве­ роятность P в соответствии с ее ожидаемой частотой п о я в л е н и я . Если затем каждой выбо­ рочной точке приписать значение случайной величины X то математическое ожидание слу­ чайной величины Е(х) или χ будет суммой произ­ ведений значений случайной величины Jc и вероятностей P = P(X ) приписанных каждой точке: Б r i r r r t N Е(х) = χ = ^ г=Q X P(X ) r r (23-196) и л и , в ы р а ж а я через непрерывные р а с п р е д е л е н и я , получим: OO Е(х) = χ = Г xf(x) — OO dx t (23-197) где f(x) — функция плотности вероятности д л я случайной величины х. Пример 23-34 Счетчик Гейгера срабатывает от тивного образца в среднем 50 000 р а з в Какова ожидаемая средняя скорость ния гамма-лучей, если счетчик имеет время 1 мксек. радиоак­ секунду. испуска­ мертвое Решение 1. Вычислим вероятность испускания од­ ного или более гамма-лучей за период 1 мксек после другого испускания. Предположим, что одно испускание гамма-луча не зависит от дру­ гого (распределение Пуассона), т а к что вероят­ ность испускания одного или более гамма-лу­ чей за период 1 мксек в среднем будет такой ж е , что и вероятность испускания одного илн более гамма-лучей за любой п е р и о д е 1 мксек. Согласно распределению Пуассона вероятность Р(г) по-