* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

676 2. П р и б л и ж е н н о е ление П у а с с о н а Анализ цепей \гл 23 распреде­ неправильный ответ на задачу, шается в течение 10 ч? Решение которая ре­ рп = 0,0001469 . 200 = 0,02938; P(G)^- ' (0,02938)0 „ _ 0! ' е й о я е з а + (0,02938) е + 0 ^ 8 8 ^ ^ - 0 , 0 9 0 5 8 ( ] _|_ 0,02938) «=» З а м е ч а н и е . Вероятность того, что имеется п о крайней мере одна неисправность, равна единице минус вероятность того, что нет неисправности. Q2 ^ 0.999577. Д л я такой малой вероятности и большого от­ ношения между числом о б р а з ц о в (200) и числом событий (2), д л я которых вычисляется вероят­ ность, приближение Пуассона будет очень точ­ ным. 2. Р а с п р е д е л е н и е П у а с с о н а как точное р а с п р е д е л е н и е . За­ метим, что в уравнении (23-182) и вероятность ρ и число образцов π о я ь л я ю т с я только в произ­ ведении рп. К а к п о к а з а н о в § 23-20 з , это произ­ ведение является средним или ожидаемым чис­ лом событий с вероятностью р , которые появ­ л я ю т с я в η опытах. Т а к и м образом, уравнение (23-182) определяет вероятность появления г событии, когда известно среднее число событий В η опытах, п р и этом предполагается, что η велико п о сравнению с г, а ρ мало. Такое истолкование распределения Пуас­ сона может быть распространено иа важный к р у г задач. В частности, рассмотрим задачу о вычислении вероятности появления события в интервале времени T если известно, что в сред­ нем за секунду п о я в л я е т с я λ событий. В этом случае полный интервал можно представить разбитым на очень большое число η полинтерв а л о в , к а ж д ы й длиной Δι, т а к что η = T/bt. Тогда, если ρ есть вероятность появления события в интервале длиной Δ Γ , ожидаемое число появлений события в η опытах, т. е. в интер­ вале длиной T будет Ры η = ρ^ΤΙΔί, которое 1 Λ ί r Рис 23-50 Ф у н к ц и я плотности распреде л е н и я П у а с с о н а для лТ=2,Ь 1. λ = 0,1 неисправности в час; Ti= T = 10 ч. 2. И з у р а в н е н и я (23-183) 3 - 0 1 J ч; P i (за 1 ч нет неисправности) = ^ e ' = 0 , 9 0 4 8 ; P 8 (за 10 ч нет неисправности) = 0,3679. 3. Следовательно, вероятность P неисправ­ ности, которая приводит к неправильным отве­ т а м в 1 ч, будет: P (неисправность з а 1 ч) = 1—0,9048 = 0,0952. З а 10 ч работы вероятность P неправиль­ ных ответов будет. P (неисправность з а 10 ч) = 1—0,3679 = 0,6321 1 1 2 3 согласно определению λ равно λ7\ если Δ/ достаточно мало. Если устремить Δί к н у л ю , то η будет стремиться к бесконечности, а р к н у л ю . Т а к к а к при выводе уравнения (23-182) были сделаны единственные допущения, что η >> г и ρ • < 1, то отсюда следует, что в пределе, когда η —-со, р £ — 0, формула будет точной. ы г Д 23-20Ô. Нормальное распределение как при ближение к биноминальному распределению Распределение Пуассона я в л я е т с я х о р о ш и м п р и ближением к биноминальному распределению когда число опытов много больше числа собы тий, д л я которых должна быть вычислена ве роятность, а вероятность п о я в л е н и я к а ж д о г о события мала. С другой стороны, нормальное распределение является хорошим приближением к биноминальному распределению, когда »исло опытов велико и независимо от числа рассмат­ риваемых событий.* Д р у г и м и словами, уравнение (23-182) стано­ вится точным, если заменить рп на XT когда Δ/ — 0. Т а к и м образом, вероятность появления точно г событий в интервале времени T сек. когда известно, что в среднем в секунду появ­ ляется λ событий, будет* 1 Приближенное нормальное распределение может быть выведено из биноминального рас­ пределения; найдено, что нормальное распре­ деление имеет следующий в и д : P(v=r)=C rq»-'C* nP P(v= r) = ri (23-183) где Φ (χ) Ynpq* X = пр (23-184) График распределения Пуассона д л я XT ==• 2,5 п о к а з а н на рис. 23-50. Пример 23-30 Если было установлено, что электронное счетно-решающее устройство имеет неисправные узлы, которые приводят к неправильным от­ ветам, получаемым от машины в среднем при­ близительно п о одному з а каждые 10 ч, то к а ­ кова вероятность получить от машины непра­ вильный ответ на задачу, которая решается В течение 1 ч7 Какова вероятность получить Ф(*) = Ynpq Ф у н к ц и я Φ (χ) я в л я е т с я нормированной фун­ кцией плотности нормального распределения. График, на котором сравниваются C p q ~ и r r n r n Φ (х)1 Ynpq (рис. 23-51, α и б ) , показывает сте­ пень п р и б л и ж е н и я нормального распределения к биноминальному при η = 10, ρ = 0,1 и η = = 10, ρ = 0,6. П р и фиксированном числе о п ы -