* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

•664 23-15. М А Т Р И Ч Н Ы Е МЕТОДЫ Анализ цепей [гл. 23 Сложение матриц подчиняется стительному з а к о н у , т. е. а + Ь = Ь + а. Умножение матриц тельному з а к о н у , т. е. подчиняется переме­ (23-83) сочета­ (23-84) сочета¬ (23-85) Матричная алгебра я в л я е т с я системой ма­ тематической стенографии, которая может быть применена д л я записи системы уравнений в очень компактной форме и д л я выполнения опре¬ деленным образом действий н а д ними. Матрица представляет собой упорядоченную таблицу коэффициентов, расположенных по строкам и столбцам. Когда матрицы применяются к це­ п я м , они могут описывать физическую конфи­ гурацию цепи посредством расположения и типа коэффициентов матрицы. Матрица это не определитель, т а к к а к она представляет собой просто таблицу коэффициентов последовательно написанных уравнений и не я в л я е т с я комбина­ цией уравнений, к а к определитель. Матрица не имеет «величины» и не может быть вычислена с помощью методов, применяемых для опреде­ лителей. В матрице число строк и столбцов необязательно будет одинаковым. Матрица си­ стемы линейных уравнений образуется с по­ мощью таблицы коэффициентов системы. Р а с ­ смотрим следующую систему уравнений: OilJCl + GX it 2 a φ X с) = (а X Ь) с. O i о ж е н и е матриц тельному з а к о н у , т. е . подчиняется а + (b + с) = (а + b) + с. Метод определения порядка умножения будет рассмотрен позднее. Чтобы умножить ма­ трицу а на постоянный множитель А, н у ж н о каждый коэффициент матрицы умножить на k\ матрица произведения обозначается к а к ka. 23-15 6. Матричные уравнения. Уравнение (23-78) может быть в ы р а ж е н о в следующей матричной форме: ЙИ Û12 X Xi X 2 a 2i а22 Ух . У* (23-86) = у \ х ) (23-78) UX 21 1 Применяя правила умножения (23-86), п о л у ч и м : (G AT -(21 1 уравнению Уг\ У*\ + а з * 2 = Уз- J а Матрица из коэффициентов при X н X в этой системе уравнений образуется следующим об­ разом: i 2 а х) 32 2 (23-87) " All ^ а = 1 3 G 2 1 а% (23-79) З н а к равенства в матричном уравнении пока­ зывает, что матрицы с каждой стороны от знака равенства равны поэлементно. Следовательно, a x + l i i a x =y ; 12 2 1 22 2 Д в о й н а я л и н и я обозначает матрицу. 23-15 а. Умножение матриц. Д в е матрицы могут быть умножены т а к , что образуют третью матрицу следующим образом: α «χ G где c n О-ц-Х t + O X =_У2» (23-88) 2 a | u X bu ь12 ь 21 Ь C 11 Cia 28 22 CI C 3 , + Λ (23-80) ab; i2 22 Получим систему уравнений (23-78), что указывает на справедливость такой интерпре­ тации матричных уравнений (23-86) и (23-87). Рассмотрим две следующие системы урав­ нений и соответствующие им матричные урав­ нения: G 1 1 = ab lx + ab; 12 2i с, = a b 2 ti С 12 AT 1 1 + G I G S A 2 A T 2 2 + G G 1 3 AT AT 3 =^ 1 " j 2 Câl = fltl^ll + Язз^ЗЬ 32 = 021^12 + 33^22· Это умножение производится по следующему общему п р а в и л у : Коэффициент Cff в матрице, определяющей произведение двух матриц, образуется умно­ ж е н и е м /-Й строки первой матрицы на k-й столбец второй матрицы. Строки умножаются на столбцы, о б р а з у я сумму произведений пер­ вого элемента строки на первый элемент столбца, второго элемента строки н а второй элемент сголбца и т. д. Умножение матриц обозначается так* α χ Ь = с, (23-81) t O X 21 G 8 1 AT 1 =у + а х + взз*з =Уг + AT + A 3 8 J · (23-89) 8 2 2 J или или а X χ £ιΟΊ+ ^ ι Λ 2 = у + 2Я А Ьл\У\ + Ь ъу* + Ь у ЬтУ1 + & в * У я + ЬаъУл или b X у = г. (23-90) где ajb обозначает матрицу α£ Χ ûnaia ... а а ...а ь 31 22 2 Если необходимо определить простыми ал­ гебраическими методами соотношение между членами χ уравнения (23-89) и членами ζ уравнения (23-90), то уравнение (23-89) должно быть подставлено в уравнение (23-90), что весьма сложно. Те же результаты можно получить в матричной форме, подставляя у в матрицу (23-90) из эквивалентного в ы р а ж е н и я , опреде­ ляемого уравнением (23-89): l P Jα U μ ...atk ЬцЬ Ь 12 1г aiiöisüia I X 1 Z 1 &21^32^23 ^81^32^*8 X G G G 21 22 23 X X 2 Умножение матриц, вообще говоря, не под­ чиняется переместительному з а к о н у , т. е. аХ Ь^ЬХ а. (23-82) = Z 2 (23-91) ^aiG G 32 33 X 2 Zb или ЬХ αχ χ = г.