* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

644 Анализ цепей [гл. 23 ЕСЛИ подставить в вышеприведенные три урав­ нения эти в ы р а ж е н и я , то они дадут полную систему уравнений цепи по методу узловых напряжений. 23-6. Р Е Ш Е Н И Е У Р А В Н Е Н И Й ЦЕПИ Этот определитель вычисляется, как показано ниже (см. § 23-15 в ) : Δ = (Ri + Rt + RB + RT) X x(Ri+R* + R* + Rb)-Rl 3. Миноры определителей образуются сле­ дующим образом. A 1 Любая цепь может быть п р о а н а л и з и р о в а н а либо по методу контурных т о к о в , либо по ме­ тоду узловых н а п р я ж е н и й . Предпочтение от­ дается тому методу, при котором получается наименьшее число неизвестных (см. § 23-1 д). Метод контурных токов с в я з а н с определением полных сопротивлений цепи и составлением выражений для равновесий н а п р я ж е н и й . Кон­ турные токи являются зависимыми перемен­ ными, а н а п р я ж е н и я источников цепи считаются известными. Метод узловых напряжений свя­ зан с определением полных проводимостей цепи и составлением выражений д л я равновесий то­ ков. Узловые н а п р я ж е н и я являются зависи­ мыми переменными, а токи источников в цепи считаются известными. Метод узловых напря­ жений чаще всего применяется к цепям, в ко­ торых большинство элементов включено парал­ лельно, а метод контурных токов — к цепям, в которых большинство элементов включено последовательно. 23-6 а. Алгебраическое решение. Когда в цепи нет реактивных элементов (т. е. индуктив­ ности или емкости), законченное решение уравнений, составлен­ ных по методу контур­ ных токов или по ме­ тоду узловых напря­ жений, может быть получено с помощью алгебраических мето­ дов. Д л я этого необхо­ димо написать систему Рис. 23-14. Цепь из ак­ уравнений, составлен­ тивных с о п р о т и в л е н и й к ных по методу контур­ п р и м е р у 23-8. ных токов или п о ме­ тоду узловых н а п р я ж е н и й , описывающих пове­ дение цепи. В результате получим систему со­ вместных линейных алгебраических уравнений, которая может быть решена относительно иско­ мого неизвестного (или неизвестных) соответ­ ствующим методом Этот метод легче всего объяснить на частном примере. Пример 23-8 Д л я цепи, показанной на рис. 23-14, опре­ делить все контурные токи. Решение 1. Уравнения, составленные п о методу кон­ турных токов, будут следующими: (Ri + R-+ R + R ) ii + Rih = U\ Riii + (Ri + R* + R + Rb) h = U. 6 7 i = и U(Ri (Ri+R2 R i + R* + Ri + Rb) + Ra + R ) U 7 А* = Ri U К а к показано н и ж е , эти определители вычисля­ ются следующим образомA = UiR +R» +R*+R ) —URi = U(R,+Ri + R ); à = U (R +R +Ra+ R )—URi = U (R* + R + R ). l l t b 2 1 ft 7 9 7 = = 4. О б р а з у я отношения А /А чим требуемое решение: х и Δ /Δ, полу­ 2 Δι =U R%+ Ri + Rb (Ri+Ri-tRi+Rs) (Ri + R2+RB+R7) Ri = U (Ri+Rs+Ri+Rb) Rt + R +R, (Ri+Rs+Rt b +R ) — R} 7 Токи i i и I я в л я ю т с я зависимыми переменными, а напряжение U — независимой переменной. 2. Д л я того чтобы решить систему уравне­ ний относительно токов, составляется опреде­ литель системы из коэффициентов при т о к а х : i A= {Ri + R + i RA + Rb) Ri (Ri +Rs +R*+Ri) ' Ri 23-6 6, Ограничение алгебраического реше­ ния. В ы р а ж е н и я , данные выше, являются за­ конченными решениями для цепи, содержащей т о л ь к о активные сопротивления. Вместе с тем ясно, что при наличии в цепи реактивных эле­ ментов члены, определяющие напряжение и ток через эти элементы, содержали бы инте­ гралы и производные.Тогда д л я решения у р а в ­ нений цепи потребовалось бы решение системы линейных интегро-дифференциальных уравне­ ний с постоянными коэффициентами. Д л я ре­ шения этих уравнений может быть применен метод, описанный в общих чертах в следующем параграфе. 23-6 в. Решение уравнений цепи с помощью преобразования Лапласа. Приведенный ниже материал не претендует на полноту изложения применения метода преобразования Л а п л а с а при решении задач цепи. Несмотря на это, предполагается, что читатель, знакомый с ука­ занным методом, найдет здесь к р а т к у ю сводку наиболее полезных соотношений, а читатель, ранее не пользовавшийся им, познакомится с упрощенным изложением данного метода, полезным при решении многих задач, решение которых другими методами было бы весьма трудным [ Л . 2|. В частности, в § 23-6 г приведен графический способ решения задач цепи, при котором значительно уменьшается объем вычи­ слительной работы. Применение преобразований Л а п л а с а при решении задач цепи можно сравнить с приме­ нением логарифмов для упрощения математи­ ческих вычислений. При применении логариф­ мов группа чисел преобразуется в д р у г у ю