* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

§ 19-3] Математические операции 515 Линейные д и ф ф е р е н ц и а л ь ­ ные у р а в н е н и я с п о с т о я н н ы м и к о э ф ф и ц и е н т а м и . Такие уравнения представляются обычно в следующей форме: dx ^dV * i n û l Решение 1. Преобразуем уравнение к операторной форме и р а з р е ш и м его относительно члена с производной высшего п о р я д к а : s x = a d ~x ΌΨ^ n n l + . 03 d~x ~dt^ o n s . + . — + — (asx + bx). + ax + a = 0 или в операторной форме (см. § 23-6); n n i n s (19-31) s x + O S -X + as~x ~\- ... + + W + Ao = O (19-32) где s представляет djdt. Теоретически у р а в н е н и я т а к о г о вида могут быть инструментованы последовательными диф­ ференцированием и с у м м и р о в а н и е м . П р а к т и ­ чески, однако, дифференцирование выполняется неявно с помощью и н т е г р и р о в а н и я во избежа­ ние шумов усилителя и других проблем, не­ избежных в дифференцирующих системах. Для решения т а к и х у р а в н е н и й , к а к (19-32), с помощью последовательного интегрирования рекомендуется следующий п о р я д о к ^ 1. Выделить из у р а в н е н и я член ЛроизводноЙ наивысшей степени. Это выльется в форму 1 s f 2. Определим число интеграторов, соответ­ ствующее п о р я д к у у р а в н е н и я , и соединим их т а к , чтобы выработать дифференциальный член второго п о р я д к а . Интеграторы и их соеди­ нения показаны на р и с . 19-12. Н а ч а л ь н ы е условия д л я dxfdt введены в суммирующий интегратор, вырабатывающий dx/dt, а началь­ ные у с л о в и я д л я χ — в интегратор, вырабаты­ вающий х. Решение уравнения получается S Jt = n — (A S - Jt + 1 f t 1 a s ~*x s 0 n + + (19-33) - T - A X + д ). r t 2. Взять η интеграторов д л я последова­ тельного интегрирования s^x, переходя к про­ изводным более НИЗКИХ ПОРЯДКОВ ^ X S * и т. д., пока не будет достигнут член х. 3. Использовать суммирующий усилитель для комбинирования выходов последовательных интеграторов, чтобы сформировать суммы у р а в ­ нения (19-33). Если это н у ж н о , следует восполь­ зоваться инвертирующими усилителями д л я изменения знака суммируемых членов. Следует помнить, что р е з у л ь т а т к а ж д о г о интегрирова­ ния умножен на 1/ЯС, где RC — постоянная времени электронного интегратора, исполь­ зованного для и н т е г р и р о в а н и я . Следует пом­ нить также, что каждое интегрирование меняет знак величины. Вообще инвертирующих усили­ телей требуется не менее половины числа интеграторов. 4. Выход суммирующего усилителя с со­ ответствующим з н а к о м подается (по цепи обратной связи) на вход первого интегратора. Таким образом, получается входное н а п р я ж е ­ ние, требуемое д л я последовательного интег­ рирования. 5. Решение снимаемся с выхода последнего интегратора. Обычно существует более чем одна структурная схема, удовлетворительно решающая данное у р а в н е н и е . Этот порядок иллюстрируется на следую­ щем примере. 1 f t - 2 1 Рис 19-12. Схема к п р и м е р у 19 3. в точке, где п о я в л я ю т с я производные н у л е в о г о порядка, т. е. член, пропорциональный х. С и с т е м а л и н е й н ы х диффе­ р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й с по­ с т о я н н ы м и к о э ф ф и ц и е н т а м и . Рас­ смотренный выше порядок может быть исполь­ зован д л я решения систем л и н е й н ы х дифферен­ ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й . Если это требуется, д л я к а ж д о г о у р а в н е н и я применяется последова­ тельное интегрирование. Д л я выполнения сум­ мирования между цепями интеграторов де­ л а ю т с я соответствующие соединения. Это ил­ люстрируется на следующем п р и м е р е . Пример 19-4 Определим аналоговые представления ме­ ханической системы, показанной на рис. 19-13, а. Массы mi и m закреплены на п р у ж и н а х с жест­ костью ki, é и й . Амортизаторы имеют коэффициенты демпфирования f и / . Пере­ менная сила F(t) п р и к л а д ы в а е т с я к массе т . Величины X и х я в л я ю т с я перемещениями т и т% соответственно. s s 1 2 x 8 х i э х Пример 19-3 Разработать структуру аналогового устрой­ ства для решения следующего линейного диф­ ференциального у р а в н е н и я : Решение 1. Н а п и ш е м уравнения д в и ж е н и я . нение д в и ж е н и я массы m будет t Ш х Урав­ •d?+ di+ a bxs=0 dx % , dx . . Λ 4 F + / l ~аЧ + k i X l + A i a ( X l Х *> = F ( i ) - Начальные условия х= с при t= следующие: и ^ = O при t= Уравнение д в и ж е н и я массы т г будет 0 0. m* • dt* 17'