* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

Гиперболические функции от комплексного переменного В. Гиперболические функции, аргумент которых 59 π увеличен на j — Нетрудно показать, что для гиперболических функций справедливы следующие равенства ch(x+j D=J sh*; th(*+y cth ^ * + / у ) = cth*; =thx, s h ^ * + y γ ) =J ch χ; где χ — некоторое комплексное число. Для доказательства первой из этих четырех формул можно исходить из формулы ch (а + Ь) = ch a ch b + sh a sh b, тогда ch ( * + / = c h χ chj + s h * shy ^ =J sh χ. = = ch χ cos + sh * j sin Аналогичным путем выводятся и последующие три формулы. С. Вычисление Arth от комплексного числа Дано число / Л + Д требуется найти 0 = / д + & так, чтобы th θ = =JA +В. Если jA + B = th{ja + b), то (JA + В) ch (Ja+ b) = sh (Ja+ Ь) и (jA + В) (ch b cos а + j sh £ sin a) = sh b cos a + / ch b sin Д. Отсюда, приравнивая отдельно мнимые и вещественные части, получим Л ch b cos а + В sh b sin л = ch b sin я, — A sh £ sin а + Б ch & cos а = sh £ cos л. Поделив первое уравнение на ch&cosß, а второе на sh b sin я, получим А-\- Bthb tga = tga или Б th & tg а = tg л — Л, — Л + В cth b ctg а = ctg а или Б cth £ ctg а = ctg а + Л. Перемножив отдельно левые и правые части уравнений, найдем B =I-A (ctg а — tga) Л, 1 — Л — Z? tga ctg a =. -| . 2 2 2 2 Принимая во внимание, что tg 2а = — тельно tg 2а = 2А ^— 2 — τ — , получим Ctg a tg а оконча-