* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ
И
ЗАВИСИМОСТИ
343
Для существования ненулевых решений тре буется обращение в нуль определителя системы уравнений (51в):
представляют гипертригонометрические функции А Н. Крылова: S(X) - 1 (chA + c o s * ) ; (49а)
U(\)
У (к) U {к)
1 {к)
-0,
(51п
откуда получаем уравнение частот стержня с за данными условиями на концах: ch к cos X — 1
—а
(51д)
T (к) -
-
(shA н- s l n M ;
(496)
U(K)
( c h X - cos X ) ;
(49в)
Для различных случаев граничных условий уравнения частот изгибных ко лебаний стержня приведены ниже, на стр. 368.
Приближенные методы определе ния частот собственных колебаний.
Приближенными методами являются энергетический метод и метод последо вательных приближений. Эти методы рассмотрены ниже в применении к за дачам изгиба. Э н е р г е т и ч е с к и й м е т о д . Энер гетический метод основан на том, что запасы кинетической и потенциальной энергии системы при колебаниях без за тухания равны между собой: 7 шах
V/(X)=
(shk - s l n X ) .
(49г)
Производные функций лова обладают свойством рестановки: /•• (X) F' (X) F" (X) F'" (X) Г (X) S ( X ) V(I) U(K)
А . Н. Кры круговой пе
F< >(X)|
IV
S
V(K) 7 (X) sw Г (X) S ( X ) U(\) K ( X ) U(K) T (X)
U(X)
V(K)
S(X)
7 U V
(X) (X) (X)
(50)
V max
(52)
(I))
Значения к определяются из уравне ний частот, которые составляют исклю чением постоянных А, В, С, D иэ уравнений. выражающих граничные условия.
Пример. Для стержня с защемленными кон цами краевые условия выражают отсутствие перемещений н углов поворота: при — = 0 н при
(см. стр. 334). Задавшись. приближенно. формой упругой линии у (-V) (кривой наибольших прогибов), определяют запас кинетиче ской энергии. При изгибных колебаниях I
^ m a x - J ^ ^ ) У Ч Х ) dx +
+
4" 2
w2
1
/
п
m/y2(jr
'
)e
() т
Ä (0)-1: получим
•0;
4Ш]
' T
— - t - о>2 .0. (51а)
X J^y2
U л
i
(Ж) ^
H¬
+ - i - ш2 ^mrfXx )
-
» W ,
(53)
При подстановке (49) в условия (51а) и учи тывая, что T(O) = O; U (0) = 0; V (0) - 0, (516)
tf
1
А=0\ 0 = 0; CU (к)+ DV (к) -0, CT (к) + DU (X) = 0 .
(51в)
где р (х) — погонная масса стержня в кПек*1смЪ, т — удельный вес мате риала стержня; T — с е ч е н и е ; g—уско рение свободного падения; у (X ) — орди ната упругой линии для точек, в кото рых расположены сосредоточенные массы Ш(.
7 i
