* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ 369 максимум, определяемый членами наи­ низшего (но не о б я з а т е л ь н о второго) порядка в р а з л о ж е н и и потенциальной энергии. Е с л и потенциальная энергия П есть квадратичная форма относительно обоб­ щенных координат П =4SS I то необходимое и достаточное у с л о в и е устойчивости з а к л ю ч а е т с я в положи­ тельности всех главных миноров ма­ трицы: ^ii c C c 12 . Сщ 2l ZZ где н у л и к а м и отмечены значения част­ ных производных потенциальной энер­ гии в положении равновесия. Суммиро­ вание производится по всем индексам от 1 до k если k — число степеней свободы. П р и отсчете потенциальной энергии от п о л о ж е н и я равновесия (что наиболее часто встречается) член (IJ) исчезает. Теоремы Л а г р а н ж а — Д и р и х л е и Л я ­ пунова относятся к с и л а м , имеющим по­ тенциал. Д л я с и л ы тяжести иллюстра­ цией может с л у ж и т ь т я ж е л ы й шарик на поверхности (фиг. 4 1 ) . В о о б щ е , е с л и при малом отклонении опертого твердого тела от положения равновесия его центр тяжести повышается, равновесие устой­ чиво, е с л и понижается — неустойчиво, наконец, если остается на прежнем уровне — б е з р а з л и ч н о . % Q где C J = C l jh т. е. Пример. В некоторых задачах на системы с одной степенью свободы потенциальная энергия имеет вид П = A + а а* + atf J г + a t f + . . . , Cu > О, 11 С\ C 2 iz 22 C C C C 21 22 • с 2п >0; C\ n C n2 . спп где O j , a?, a ... — постоянные. Требуется сделать заключение об устойчивости. Постоянная a не имеет существенного значе­ ния. Iic л и а% > 0, равновесие устойчивое (по тео­ реме Лагранжа — Дирихле); если л , < O равнове­ сие неустойчивое (по теореме Ляпунова); если, наконец, а, = U то аналогично рассматривают а , Вообще, если первый, не равный нулю, коэффи­ циент положителен, равновесие устойчиво, если отрицателен, — неустойчиво. t Q t 1 А это есть так называемый критерий Сильвестра. Теорема Л я п у н о в а предполагает воз­ можность разложения потенциальной энергии системы в окрестности поло­ жения равновесия в ряд по степеням обобщенных координат, отсчитываемых от этого п о л о ж е н и я : У с т о й ч и в о с т ь на опрокидывание. От­ ношение момента удерживающего (или мо ме нта усто й ч и вости) к моменту опро­ кидывающему назы­ вается коэффициен­ том устойчивости опрокидывание %. на Фиг. 42. Устойчи­ вость плотины. Пример. Пусть плотина (фиг. 42) подвергается дей­ ствию давления воды P на a о высоте Zz и земли P e 9 на высоте ft.; вес плотины О J - j действует на расстоянии b от ребра О. Коэффициент устойчивости на опрокидывание вокруг ребра в J i j % _ We Gb + P ЭГ 3 * h ' КИНЕМА КИНЕМАТИКА ТОЧКИ ТИКА расстояний. Р а с с т о я н и е считается в одну сторону п о л о ж и т е л ь н ы м , в д р у г у ю — от­ рицательным. Е с л и точка, выйдя в не­ который начальный момент времени * = 0 из начального положения M , переме­ с т и л а с ь сначала в п о л о ж е н и е A f , а за тем в Mi то расстояние M Mz назы 0 1 t 0 Прямолинейное движение точки Закон движения. П о л о ж е н и е точки M на прямой (фиг. 43) определяется ее расстоянием s = OM от некоторой фик­ сированной точки О — начала отсчета 24 Том I Зак. 1464