* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
304
РАЗНОСТНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
И
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
Бесселя. Ф о р м у л а особенно удобна д л я интерполяции на середину при
X = X
1
в
первой
формуле С+О ^
^
Ньютона
А
и
+ X
0
я+1 hя+1
У
п
Интерполяционная формула Лагранжа для неравноотстоящих узловых точек
/(«*)»¥ (X-X )
1
во
второй ф о р м у л е 3) Д л я ф о р м у л ы
/(2л-И) ч
( С
Ньютона. Стирлинга (X-X )
1 я
(X)
2
= (х—х )
п
(
2
я
+
n
l
U - ^ o )
X
( X - X
1 0
) . .
t
(х
0
— X ) (X
0
- X
2
) . . .
(X
0
—
X)
n
Уо + Уг +
f
T
Х(х
— X _ j ) . . . ( х — Х ) (X — х _ „ ) .
+
+
(X — х ) (X
1
(х — х )...(х—
2
X)
n
Здесь
n
можно
заменить
Д
2 л
— X)
0
(X
0
1
- X
1
) . . .
(X
1
—
X)
(2я+1)
j (х
п
— X)
0
(X — X , ) . . . (JC — X „ - ) (Х
п
(¢) *
+ У-л-1 + 2
1 2 л Л
***+ У1 + 1
я
(л —л )
— X ) ...(X
1
n
—
X -i)
n
4) Д л я ф о р м у л ы
Пример. Построить полином у = / ( д г ) по зна чениям .г, у, приведенным в таблице:
X
Бесселя
U 2
1 3
2 12
5
* " X U С
(2/1 + ^ i
1
x
Х ) (X — X ) ( X — Х _ ! ) . . .
147
...(X-X )
n
(х — х _ „ ) можно
Д
( X - X
1+ Д
2 л
n
^
2
1
) .
„ ~ •
По формуле Лагранжа получим
Здесь
/ ^
+ 2 )
заменить
2 л
+ у
2
я
+ у
У =
+
(х~1)
(О -
(х2) U - 5 ) 2 + 1 ) ( и - 2 ) ( U - а)
3 +
( £ )
X
(х - 2) (.г - 5) Ul -2)(1 -5)
^ U - D U - 5 ) 2 (2 - 1) (2 - 5) ^
I 2
+
Численное дифференцирование и интегрирование Д л я п р и б л и ж е н н о г о ( ч и с л е н н о г о ) дицУ ференцирования / (х) последняя заме няется одной из интерполяционных фюрмул t p ( x ) : по ф о р м у л е Стирлинга
^
5 ( 5 -1)(0-2)
^
Остаточные
члены интерполяционных формул
Погрешность при интерполировании можно оценить, если вычислить остаточ ный член R = I (х) — Y ( х ) . 1) Д л я ф о р м у л ы Лагранжа
R
(JH)
\ dX
_
0
I
[Ду +
0
Ду_
h 2 Jx=X ~~ Д3у_! - -Д _У-2
3
,
2
, L _ ^ У - 2 +
д б
/
( n + 1 )
(S)
у х ),
п
У - З
*
0
(п + 1 ) 1
'
30
2 Ньютона
4-...];
X ( х — х ) ( х — X i ) . . . (х —
по ф о р м у л е
•где 6 — промежуточное значение между наибольшим и наименьшим из чисел х ,
0
x
(
I t -
->х .
п
2) Т а к о е же выражение имеет R и д л я формул Ньютона, если аналити ческий вид / (х) известен. В противном с л у ч а е можно заменить
Д"+' /< +
л 1 )
«)
*
Уо
I
ч
п+
Для приближенного (численного) интегрирования f (х) следует эту функ цию заменить интерполяционным мно гочленом < (х). р И н т е г р и р о в а н и е у (х) приводит к ф о р м у л а м трапеций, Симпсона и др. (см. стр. 182).
