* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 293 y z ) одновре­ уравнения 0 l 0 где a s — д л и н а дуги ММ\; К, T взяты в точке М. П р о е к ц и и пространственной кривой на плоскости сопровождающего трехгранника имеют вид, покпзанный на фиг. 7 1 , а — в д л я с л у ч а я Г > 0 и показанный на фиг. 72, а — в, д л я T < 0 . Т<0 В особой точке ( х , менно удовлетворяются 0 P U o . Уо. *о> = 0. F x - F v = F 2 « 0; 3 ) поверхностью в параметрическом представлении, заданной тремя функ­ циями X = X (u v) t t у = у (u V), z = t z (u t у) (19) ß г _ или векторной функцией г = г (и, V) =* ix (и, V) + 6) Т<0 + 7у(". v) называется + kz(u. V), (20) геометрическое место точек, t 7 Г ~ Фнг. 72. Левое кручение. Если в данной точке T > 0 , то кри­ вая имеет форму правого винта, а если Т<0 — форму л е в о г о винта (см. фиг. 70). ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Поверхность Уравнение поверхности. может быть задана 1) явным уравнением 1 о б р а з у е м ы х концом радиуса-вектора г, когда параметры u v пробецают о б л а с т ь своего изменения D и когда в окрест­ ности каждой точки ( u , V ) о б л а с т и D точки (x у, z) определяемые ф о р м у л о й (19) или ( 2 0 ) , образуют простой кусок поверхности. Точка (x у , г ) , соответ­ ствующая точке ( « , V ) ИЗ D называется обыкновенной точкой поверхности. П о в е р х н о с т ь существует, е с л и функ­ ции к (u v) у (и, V), Z (U V) и их частные производные первого порядка в области D непрерывны и в каждой области ранг ф у н к ц и о н а л ь н о й матрицы 0 0 t f 0l 0 0 0 0 1 t t 1 z=/(*. У) t (17) равен двум. (г ID Здесь 0 V» в той области изменения х, y где / (х, у ) и ее частные производные 1-го порядка fx U * У ) . Iy (*i v) — непрерывны; гео­ метрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (17), называется простым куском поверх­ ности; 2) неявным уравнением F (x t х и дх(и, и) = — ^ — и т. д. И з трех уравнений (19) исключени­ ем U V получается одно уравнение F (x у , г) = 0 , о п р е д е л я ю щ е е р е г у л я р ­ ный кусок поверхности. t t у, 2 ) = 0, (18) оп редел я ющи м reo метр и чес кое место точек и такое, что в окрестности каж­ дой из этих точек имеется простой ку­ сок поверхности; каждая такая точка н аз ы ваетг я обыкновен ной точкой. Это геометрическое место точек назы­ вается регулярным куском поверхности. П о с л е д н и й существует, если функция F (x у, г) и ее частные производные первого порядка F F F в некоторой области пространства непрерывны и F* F F одновременно в н у л ь не обращаются. t xt vt z x yy z При и = Ci = const уравнение г = = r ( c i , v) определяет л и н и ю на по­ верхности. При о = С2= c o n s t г = г(и. < ) о п р е д е л я е т д р у г у ю л и н и ю на поверх­ ности. Каждой паре значений (и, о) из области D однозначно соответствует точка (x у г) поверхности, и обратно. Параметры u v называются криволи­ нейными координатами точки на по­ верхности. Два семейства л и н и й и = с\> V = Co о б р а з у ю т сеть (правильную) координатных линий. Т о ч к а , в окрестности которой поверх­ ность не представляет простого куска поверхности, называемся особой точкой. Необходимым условием, чтобы точка 2 t % t