* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

2 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Главная нормаль и кривизна кривой. Производная о т орта касательной по дуге ^ ds называется = У = 7 соприкасающейся точке. Орт б и н о р м а л и : плоскости в этой X + jy" + IJS* кг 9 Р = тОХ>. (16) вектором главной нормали (или вектором кривизны) и о п р е д е л я е т п р я м у ю главную нормаль кривой, про­ х о д я щ у ю через д а н н у ю точку М . Г л а в ­ ная нормаль л е ж и т в нормальной пло­ скости (т/ J _ X ) . Орт главной нормали обозначается v: Сопровождающий трехгранник. Три взаимно перпендикулярные прямые — касательная, главная нормаль и бинор­ маль в точке M на кривой — назы­ ваются главными направлениями в этой точке. Три P орта этих направлений тройку т, v, образуют правою векторов ds (как три координатных орта /, у , k) и связаны равенством ( 1 6 ) . Направляющие косинусы главных направлении суть координаты ортов называется точке М. где с к а л я р визной К = в кри­ кривой Кривизна в точке /И i К = Ilm J L Aj-O Т р и плоскости, соответственно, пер­ п е н д и к у л я р н ы е к х, V р — нормаль­ ная,спрямляющая и соприкасающаяся,— о б р а з у ю т в каждой точке кривой (не о с о б о й ) трехгранник ( т р и э д р ) , называ­ 1 AS емый сопровождающим, подвижным, естествен ным основным, трехгран­ где < — у г о л смежности двух касатель­ р ных к кривой в точках M и M i ( у г о л между касательными); As — длина дуги кривой MMi. Кривизна х а р а к т е р и з у е т отклонение кривой от прямой. Радиус кривизны: I р = я ником Френе. О его движении см. стр. 292. Кручение пространственной кривой. Вектором кручения, имеющим напра­ вление главной нормали (в ту или д р у г у ю из е е ' с т о р о н ) , называется вектор К" Орт главной нормали: Скаляр T я в л я ю щ и й с я относитель­ ным числом, называется кручением кри­ вой в точке M и по абсолютной вели­ чине есть t ds ; = р ? = р (Гдг" + /у" - f Спрямляющая плоскость кривой в Hm J L 4_ ds 1П. точке A l — п л о с к о с т ь , перпендикулярная к главной н о р м а л и . Соприкасающаяся плоскость. Сопри­ касающейся плоскостью в точке M на кривой называется предельное поло­ жение плоскости, проходящей через три точки на кривой M M Mo когда M - M , M -+ М. Соприкасающаяся плоскость — пре­ дельная д л я плоскости, проходящей через к а с а т е л ь н у ю в точке M и сосед­ нюю точку M i при M i -»• М . Сопри­ касающаяся плоскость проходит через к а с а т е л ь н у ю и г л а в н у ю нормаль. Бинормалью кривой в точке M назы­ вается прямая, перпендикулярная к t b t 1 где ф — у г о л смежности двух бинормалей (или двух соприкасающихся плоско­ стей) в точках M и М\ кривой; As = MM . Для плоской кривой T = 0; 1 2 р сохраняет постоянное направление; соприкасающаяся плоскость — пло­ скость самой кривой. Если T ф 0, то чем б о л ь ш е абсолют­ ная величина кручения, тем быстрее отклоняется кривая от соприкаса­ ющейся плоскости Радиусом кручения называется велн1 чина - ^ . r