* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

280 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 6) В с л у ч а е R = г = р (т = 2 ) обы­ кновенная эпициклоида называется кар­ диоидой (фиг. 61). При г = со эпици0Х клоиды превращаются в )х эвольвенты неподвижной окружности. в) В каждой из эпи­ Фиг. 6 1 . циклоид нормаль п р о х о ­ Кардиоида. дит через точку каса­ ния кругов. г ) Обыкновенная эпициклоида (г = р) имеет точки возврата 1-го рода при t = г, k — ц е л о е ч и с л о . Е с л и про¬ вести диаметр катящегося круга через точку касания к р у г о в , то касательная и норМаль в данной точке эпицик­ лоиды проходят через концы этого диа­ метра. д) У г л о в о й коэффициент касательной к обыкновенной т + Г эпициклоиде асательная из центра О л у ч и , а через точки V 2% 3\ 4' провести концентрические окруж­ ности с центром О; эти о к р у ж н о с т и пересекут диаметр A B в точках /, //, ///, IV а л у ч и из центра О — соответ­ ственно в точках A i , аг, Дз, От последних точек по этим д у г а м концен­ трических о к р у ж н о с т е й надо о т л о ж и т ь T 0 0 T IV— UM; 1 1 II2' 0 it = OM; 2 2 III 3 3' = 4 аМ. ъ 9 Точки A , M M Af , M - точки эпициклоиды. Построение удлиненной и у к о р о ч е н ­ ной эпициклоид производится при помощи предварительно построенной Zt dy -гdx _ = парал­ л е л ь н а биссектрисе у г л а Л Дифференциал дуги Rt .о щвштх ds = 2(R + r) sin ~р равен Фиг. 62. Обыкновенная эпициклоида. dt* обыкновенной эпициклоиды; на прямой, соединяющей центр O i (фиг. 60) с точкой обыкновенной эпициклоиды, отклады­ вают от центра O i отрезок р\ конец отрезка опишет у д л и н е н н у ю или укоро­ ченную эпициклоиду. 3) Гипоциклоиды — рулетты, получен­ ные при качении о к р у ж н о с т и по о к р у ж ­ ности (внутреннее касание, г < R). Уравнения Радиус кривизны 4r(tf + r)sin (-| -£Л 2Г-Г- R е ) Эволютой обыкновенной эпицикло­ иды является обыкновенная эпицикло­ ида, сжатая в постоянном отношении 1 точки У О, и по л у ч а м , повернутая ралиус , радиус выходящим из на угол гтс -ß. R х = (R — r)cos t + р cos y = (R-r)s\nt—psin ( ^— 1 г Г t^j t) 9 этой д эволюты катящегося неподвижэволюта по­ rR круга ного г = круга = R 2 ^ ^_ 2 ', Г определяют у к о р о ч е н н у ю (р < г ) , у д л и ­ н е н н у ю (р = pi > г ) и обыкновенную (р = г) гипоциклоиды (фиг. 6 3 ) . D добна основной эпициклоиде. ж) Для построения обыкновенной эпициклоиды с л е д у е т по неподвижной окружности отложить дугу AC = = ^A BQ — п о л о в и н у длины подвиж­ ной о к р у ж н о с т и (фиг. 6 2 ) , каждую д у г у разделить на л равных частей (на фиг. 6 2 л = 4 ) . Ч е р е з точки I 2 3, 4 провести 0 0 1 % Если отношение — рационально, то гипоциклоиды — алгебраические вые, замкнутые; X = кри¬ т, то если — — 1 = rm cos t + р cos mt, у = rm s i n t — р s i n mU