* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

276 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Je — c o n s t f Oe ^ m n k получаем = ae mb t р= 6— Oe ^ • k m 7 = ных координатах уравнением г = — т Изменение параметра а приводит к вращению одной и той же л о г а риф- где Фиг. 47. Логарифмическая спираль. (см. стр. 2 6 2 ) . П р и (р оо кривая неограниченно п р и б л и ж а е т с я к п о л ю с у . П р и ч —** О г —*• о о ; имеется асимптота ? (см. фиг. 7Y Е с л и образовать семейство концен­ трических о к р у ж н о с т е й с центром в по­ л ю с е и на каждой из н и х , начиная от п о л я р н о й о с и , о т л о ж и т ь д у г у д л и н ы а, то полученные на о к р у ж н о с т я х точки лежат на гиперболической спирали. Д л и н а п о л я р н о й подкасательной спи­ р а л и постоянная и равна а. 3 Э в о л ь в е н т а о к р у ж н о ­ с т и . Уравнения ( 1 0 ) примера 1 (стр.272) при ы = 0 , V= P R = а — радиус основной окружности и при замене осей X и у между собой принимают вид 1 мической с п и р а л и о к о л о ее асимптоти­ ческой точки. г) Полярный T V\ отрезок 4- т' г X = (а + р) cos t + у = at s i n t; (а + р) s i n t — at cos t, нормали C O ГS O спи­ рали п = где г — у г о л хОВ. П р и р < О — э в о л ь ­ вента удлиненная (фиг. 4 9 ) , при р > О — эвольвента укороченная (фиг. 5 0 ) , при У д ) Радиус кривизны R = cos а е) Центр кривизны — с м . на стр. 267. ( = п. У la X в* ж ) Эволютой спирали является та же с п и р а л ь , но повернутая относительно _ / in т я\ основной на у г о л ( — —J . з) К о н х о и д о й кривая р = г + у г о л Hi =h c o n s t : t g H-i = 1 Л* До) 0 соточка M конхоиды описывает бесчисленное множе­ ство оборотов, р - • o o . При < р = О р = а -f- 6. При 6, Фиг. 48. Конхоида логарифмической т. е. о к р у ж н о с т ь с спирали. радиусом b является ас и м птотичес ко й дл я конхоиды логарифмической спирали (фиг. 4 8 ) . Логарифмическая спираль приме­ няется при затыловании зуба фасонной фрезы. 1 P = O — эвольвента обыкновенная (фиг. 5 1 ) . Параметрические уравнении в поляр­ ных координатах: 1-й вид: а А- р г = (а + р) sec а, ч = — - ^ - t g а — а, > j где параметр а есть у г о л BOM и связан с у г л о м / формулами tg а = 2-й вид: г = V № at а + р + (в + at Р) \ г Явное уравнение * ± Vn-(a-YPY arccos £ ± £ ) 3) Гиперболической спиралью назы­ вается кривая, определяемая в поляр-