* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

•272 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Примеры. _ 1) Прямая С, принятая за ось Ox окружности С: л*' у = R* 1 t Находим t катится по £ = ü cos Г + 1) = (v — r) s i n 7; Параметрические уравнения центроид: С : X - R sin t; у = # cos /; dx = R cos C : x = t (v — r ) cos t — и s i n f -f- r . dt; Уравнения рулетты будут иметь вид: t; J f = J T H- £ = г (Г— s i n Т) + « cos Г + г s i n Г; 1 dv = — R s i n t dt; s = Rt; ds = R dt; 1; у = 0; dx — dl; ds = dt. d~y = 0 ; s - Y= 7) = г (1 — cos 7) H- » cos t — и s i n 7. J Прямая С, называемая производящей, обкаты­ вает окружность С по часовой стрелке, параметр t, определяющий положение C отсчитывается от оси Oy по часовой стрелке (фнг. 34). По формуле л Rt = T к по форму¬ -* лам (9) вычисляем t Рулетта (11) есть циклоидальная кривая', обык­ новенная циклоида для точки M на C укороченt У ? гг-Г I - U - T = U - R t ; TJ = O. Траектория точки M ( u , v) в плоскости П определяется относи­ л тельно хОу уравнени­ а ями (8): X = (R+v) slnf+' H- (и - Rt) cos /; Фиг. 34. Качение пря­ мой по окружности. У — (R+v) (и cos t¬ С 0 Фиг. 35. Качение окружности по прямой. (10) Rt) s i n /; J ная циклоида для точки M внутри круга С и удли­ ненная циклоида для точки M вне С. Уравнения траектории точки О ( и = 0, w = 0): X = /-(F—sln/). K = г (1 — cos 7). полученная рулетта называется эвольвентой ок­ ружности (обыкновенной, если M на прямой С, укороченной при v > 0 и удлиненной при v < 0). Уравнения обыкновенной эвольвенты при и = 0, v = 0 (траектория точки О) имеют вид X = R (sin t — / cos о; Y= У? (cos t + t sin t). Чтобы получить уравнения эвольвенты при ка­ чении С по С против часовой стрелки и с исход­ ной точкой A на оси Ox следует рассмотреть t 1 В начальный момент системы х О у и хОу сов­ падают. Если а = и (т), v = v (т) —уравнения кри­ вой L в плоскости /7, то уравнения ( U ) опре­ деляют семейство L при движении I I по Я , осу­ ществляемом качением круга С по прямой С. 3) Окружность радиуса г (центроида С ) катится без скольжения по окружности радиуса R (цен­ троида С) (фнг. 36). Уравнения ценУ T p O И Д LJ С X - траекторию точки Al l | u = - у R, v = o j и заме­ R sin f; те нить — — t = t ; получим X= /?(cos V - f s i n /'); Y = R ( s i n V — V cos / ' ) . При u=u (t),v=v(z) получаем кривую L в пло­ скости П; уравнения (10) определяют семейство этих кривых в плоскости /7 при движении I I по Я , осуществляемом качением прямой С по окруж­ ности С. 2) Окружность радиуса г (центроида С) катится без скольжения по прямой С, принятой за ось Ox в плоскости П. При расположении осей и цен­ троид на фиг. 35 получаем: для С: X у = R cos /. Уравнения троиды С X цен­ = г sin Г; у = г (1 — cos F). Уравнения ру­ летты точки M{u v) (эпициклоиды) име­ ют вид t О X Фиг. 3G. Качение окруж­ ности по окружности. г) s i n (/ ?); H- X= (R + г) s i n / H - (V + Ö H- = t; у = 0; dx = dt; dy = 0; s = t; ds = dt; для С: JT H - U C O S (* + К = (/? + г) cos f + (г/ - г ) cos (t = г sin s = r r; t; Ö - у = г (1 — cos 0 ; dy = г sin Tdt; rt — t. ds=rdt; - и s i n (/ + 7), где Rt = г1. При качении окружности С по инутренней стороне С (штрихпунктирная окружность dx = г cos Tdl;